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ε-δの練習をしているのですが、たとえば
https://www.nick97.com/entry/epsilon-delta-matome
にある問題は、すべて高校数学流の求め方で極限値を求めることができます。そうでない例を知りたいのです。
 数列の極限でいえば
  lim[n→∞]x[n] = a ⇒ lim[n→∞] (x[1] + x[2] + …… + x[n])/n = a
のような問題です。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    知りたいのは関数の極限の例題です。

      補足日時:2024/01/08 21:56

A 回答 (4件)

R=(全実数の集合)


とすると

f(x)=x^2 は x∈R で連続だけれども

ε=1
任意のδ>0に対して
a=1/δ
x=a+δ/2
とすると
|x-a|=δ/2<δ

|f(x)-f(a)|
=|x^2-a^2|
=|(a+δ/2)^2-a^2|
=|aδ+δ^2/4|
=1+δ^2/4
>1=ε

だから

f(x)=x^2 は R で一様連続ではない
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この回答へのお礼

ありがとうございました!!

お礼日時:2024/01/09 16:54

だー・・・・これもやらかしだった

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1.


 (a₁+a₂+…+an)/n → a
と同じだが
 an>0, an → a ならば、ⁿ√(a₁a₂…an) → a

2.
 an=(1+1/n²)(1+2/n²)…(1+n/n²) → √e

3.
 b[n]>0、Σb[i]→∞ かつ a[n]/b[n]→a のとき、
 (a₁+a₂+・・・+a[n])/(b₁+b₂+・・・+b[n]) → a
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任意のε>0に対して


ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|x[n]-a|<ε/2
だから

任意のε>0に対して
n_1>n_0+2Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|/ε
となる自然数n_1がある
n>n_1となる任意の自然数nに対して

n>n_1>2Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|/ε
n>2Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|/ε
ε/2>(1/n)Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|

n>n_1>n_0
(1/n)Σ_{k=n_0+1~n}|x[k]-a|<{(n-n_0)/n}ε/2
だから

|(1/n)Σ_{k=1~n}x[k]-a|
=|(1/n)Σ_{k=1~n}(x[k]-a)|
=|(1/n)Σ_{k=1~n_0}(x[k]-a)+(1/n)Σ_{k=n_0+1~n}(x[k]-a)|
≦(1/n)Σ_{k=1~n_0}|x[k]-a|+(1/n)Σ_{k=n_0+1~n}|x[k]-a|
<ε/2+{(n-n_0)/n}ε/2
<ε/2+ε/2
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この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございます。

数列の極限ではなく、関数の極限の例を知りたいのです。

お礼日時:2024/01/08 21:55

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