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次のローラン展開の問題の解き方が分かりません。
複素関数f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開せよ
という問題です。
問題の途中経過まで書いてあると助かります。
どなたかお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

#1さんのやり方で良いですが、やって見ましたか?



まさかテーラー展開とかマクローリン展開が分からないとかないですよね?

通常、ローラン展開の公式等については例題があまり載っていないですが、それはテーラー展開とかマクローリン展開から簡単に導けるからです。つまり今回の
f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開する場合だと
分母を払った(掛けた)
(z^2)f(z)=1-cos(z)=g(z)
このg(x)のマクローリン展開、つまりx=0を中心とするテーラー展開を求めてやれば
いいです。
g(x)=1-cos(x)のマクローリン展開(x=0におけるテーラー展開)はどこにも載っているかと思います(cos(x)のマクローリン展開は参考URL参照)。
g(x)=1-Σ[n=0,∞] {((-1)^n)/(2n)!}x^(2n)
=-Σ[n=1,∞] {((-1)^n)/(2n)!}x^(2n) (|x|<∞)
このxをzに変更してz^2で割ってやれば
f(z)=g(z)/z^2=-(1/z^2)Σ[n=1,∞] {((-1)^n)/(2n)!}z^(2n)
=-Σ[n=1,∞] {((-1)^(n-1))/(2n)!}z^(2n-2)

参考URL
http://assam.iic.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/m …
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/eiroad/eiroad08.pdf
http://www.u-gakugei.ac.jp/~nitta/taylor.pdf

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4% …
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coszをz=0を中心としてテーラー展開する。


その式を(1-cosz)/z^2に代入すればよい。

z=0は除去可能な特異点ですので、z^(-n) (n∈N)となる項はありません。
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