(sinx)^3のテイラー展開を項別積分することで ∮［0→x］(sinx)^3dxのテイラー展開を

(sinx)^3のテイラー展開を項別積分することで
∮［0→x］(sinx)^3dxのテイラー展開を計算せよ。

と言う問題なのですが、途中まで計算できるのですが、ある場所で止まってしまいました。
アドバイスをくれるとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/21 01:20

sin x のマクローリン展開を 3 乗したらエライことになるから、

No.1 の計算方法に一票。

3倍角の公式から (sin x)^3 = (3/4)(sin x) - (1/4)(sin 3x) なので、
sin x のマクローリン展開 sin x = Σ[n=0→∞]{ (-1)^n/(2n+1)! }x^(2n+1) を使って
(sin x)^3 = (3/4)Σ[n=0→∞]{ (-1)^n/(2n+1)! }x^(2n+1) - (1/4)Σ[n=0→∞]{ (-1)^n/(2n+1)! }(3x)^(2n+1)
= (3/4)Σ[n=0→∞]{ (-1)^n/(2n+1)! }x^(2n+1) - (1/4)Σ[n=0→∞]{ (-1)^n/(2n+1)! }{ 3^(2n+1) }x^(2n+1)
=Σ[n=0→∞]{ (3/4) - (1/4)3^(2n+1) }{ (-1)^n/(2n+1)! }x^(2n+1).

これを項別積分して、
∫[0,x] (sin x)^3 dx = Σ[n=0→∞]{ (3/4) - (1/4)3^(2n+1) }{ (-1)^n/(2n+1)! } ∫[0,x] x^(2n+1) dx
= Σ[n=0→∞](3/4){ 1 - 3^(2n) }{ (-1)^n/(2n+1)! }{ 1/(2n+2) }x^(2n+2)
= Σ[n=0→∞](3/4)(1 - 9^n){ (-1)^n/(2n+2)! }x^(2n+2).

この回答へのお礼

とても細かくありがとうございます！
積分微分ではサインの高次元は倍角の公式で行うのがミソですか？、

お礼日時：2020/07/21 06:52

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/20 22:44

3倍角の公式を使うじゃダメ？

sin3x=3sinx-4(sinx)^3
4(sinx)^3=3sinx-sin3x
(sinx)^3=(3/4)sinx-(1/4)sin3x

あと、目が悪いだけかもしれないけど、周回積分には見えない。