f(θ)=sinθ/cosθに関して、 f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展

f(θ)=sinθ/cosθに関して、
f(θ)=sinθ/cosθをθ=π/2のまわりでローラン展開したいと思います。
そこで質問が２つあります。

質問1.
θ→π/2として、
なぜ
f(θ)が負のべき乗を持つ時は発散し、
f(θ)が負のべき乗を持たない時は収束するのでしょうか？

質問2.
g(θ)=(θ-π/2)f(θ)に関して、
θ→π/2として、
なぜ
f(θ)のべき乗が(-2)より大きい時は
lim{θ→π/2}g(θ)は発散し、
f(θ)のべき乗が(-1)から始まる時は
lim{θ→π/2}g(θ)は発散しないのでしょうか？

わかりやすく教えて頂きたいです。


に関して、
質問1に関して、

f(θ)が負のべき乗を持たない時は収束すると言われましたが、nが-1や-2の時は収束する、すなわち、ローラン展開は出来ずに何かしらの数値になるわけでしょうか？
なぜ収束するのでしょうか？



質問2に関しては
nが-2より大きい-1や0などの時は特異点であるため(発散するため)、nが-2より大きい時はローラン展開が出来るわけでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/18 04:08

質問1.

f(θ)=sinθ/cosθ
のローラン展開
sinθ/cosθ=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(θ-π/2)^n
θ→π/2の時
左辺sinθ/cosθは発散するから右辺も発散するから
もし
右辺に負のべき乗項が無いと仮定すると
右辺は
Σ_{n=0～∞}a(n)(θ-π/2)^n
θ→π/2の時
lim_{θ→π/2}Σ_{n=0～∞}a(n)(θ-π/2)^n=a(0)
に収束するから右辺も発散する事に矛盾するから
∴
右辺には負のべき乗項がある

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2022/09/21 16:05

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/09/17 21:37

この質問文の「n」ってなに?

この回答へのお礼

ありがとうございます。
式f(θ)=sinθ/cosθの指数をnと仮定しました。実際はf(θ)=sinθ/cosθの指数は1ですが。

お礼日時：2022/09/18 03:33

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/17 21:09

質問1.

θ→π/2の時
f(θ)=sinθ/cosθは発散するから

必ず
負のべき乗項があります

質問2.
f(θ)=sinθ/cosθ
である限り
lim{θ→π/2}g(θ)
=lim{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=-1
だから
間違いです

この回答へのお礼

>> θ→π/2の時
f(θ)=sinθ/cosθは発散するから

必ず
負のべき乗項があります


すいません、証明していただけないでしょうか？

お礼日時：2022/09/18 03:32

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/17 20:33

質問1.

θ→π/2の時
f(θ)=sinθ/cosθは常に発散します
収束する事はありません
従って
f(θ)=sinθ/cosθ
をθ=π/2のまわりでローラン展開すると
必ず
負のべき乗項があります
負のべき乗を持たない時はありません

質問2.
g(θ)=(θ-π/2)f(θ)
g(θ)=(θ-π/2)sinθ/cosθ
に関して、
θ→π/2の時

lim{θ→π/2}g(θ)
=lim{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=-1
に
必ず収束します
発散する事はありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> f(θ)=sinθ/cosθ
をθ=π/2のまわりでローラン展開すると
必ず
負のべき乗項があります

なぜ必ず負のべき乗項があるのですか？




>> 質問2.
g(θ)=(θ-π/2)f(θ)
g(θ)=(θ-π/2)sinθ/cosθ
に関して、
θ→π/2の時

lim{θ→π/2}g(θ)
=lim{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ
=-1
に
必ず収束します
発散する事はありません

ってことは、nの数値に限らず収束するわけでしょうか？
要は
「質問2.
g(θ)=(θ-π/2)f(θ)に関して、
θ→π/2として、
なぜ
f(θ)のべき乗が(-2)より大きい時は
lim{θ→π/2}g(θ)は発散し、
f(θ)のべき乗が(-1)から始まる時は
lim{θ→π/2}g(θ)は発散しないのでしょうか？
」は間違っていたわけでしょうか？

お礼日時：2022/09/17 20:47