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【問】Σ_[n=1,∞]1/nは発散する事を用いて、
Σ_[n=1,∞]1/√nは発散することを示せ。

とあったんですが、
Σ_[n=1,∞]1/n=1/1 +1/2 +1/3 +・・・+0
になるから収束する。という考え方は間違いですか?

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A 回答 (4件)

y = 1/x のグラフを書いてみてください。


Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n とすると
y = 1/x のグラフと x = 1 , 2 , 3 , … , n との交点のy座標は 1 , 1/2 , 1/3 , … ,1/n となりますよね。
ここで x = 1 , 2 , … との交点のy座標から右に1伸ばすと面積が 1 , 1/2 , 1/3 , … , 1/n となる長方形ができます。
するとここでグラフから不等式
∫[1→n+1] 1/x dx < Sn となります
左辺を計算して
log(n+1) < Sn
n→∞ のとき log(n+1)→∞ より追い出し(はさみうち?)の原理から Sn→∞ と解ります。

ちなみに交点のy座標から左に1のばすと今度は
Sn < 1 + ∫[1→n] 1/x dx (1 + にするのは 1/x の定義域に x = 0 が含まれないため [0→n] とできないから)
これらを使って 1/2 + 1/3 + … + 1/n < logn < 1 + 1/2 + … + 1/n-1
を証明させる問題もよく出ますので頭に入れておくと良いでしょう。

この回答への補足

皆さん詳しい回答ありがとうございます。
なんとなく理解できました!
ありがとうございました。

補足日時:2007/03/03 17:33
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「調和級数」といいます。


発散することで有名です。

 http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90% …
>解析学基礎/級数//収束性
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級数について全く理解しておられないと思いますが、0に収束する


数列を全部足すと収束するというわけではありません。
Σanが収束するというのは、1項からn項までの部分和Sn=Σ(k=1,n)ak
からなる数列Snが収束するということで定義されます。
逆に級数Σanが収束すれば、an→0は言えます。
Σan=Aとすると、Sn→Aということで、
Sn-S(n-1)=anにおいてn→∞とすると、左辺→A-A=0なので、an→0
つまり、an→0は級数が収束するための必要条件です。十分条件では
ありません。

Σ(n=1,∞)1/nは調和級数と言われ、発散級数の代表的なものです。
この級数と大小比較することで、級数の収束・発散を調べることは
多いです。

この証明はいくつかあると思いますが、簡単に書くと、
1+1/2+1/3+・・・
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+…+1/16)+…
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+…+1/16)+…
=1+1/2+2/4+4/8+8/16+…
=1+1/2+1/2+1/2+1/2+…
=∞
(2のべき乗の項まで区切って考え、分母を大きい数字に置き換える。
1/2の項が無限個出てくる)

n≧√nなので、1/n≦1/√n
Σ1/nは無限大に発散し、Σ1/√nはΣ1/n以上なので、無限大に発散
する。
Σ1/√nでなくてもΣ1/(n^a)で、aが1以下ならば無限大に発散する。
逆にaが1より大きければ収束する。
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>になるから収束する。

という考え方は間違いですか?

間違いです.
Σ_[n=1,k]1/n > log(k)
ですので発散です.
区分求積のきわめて基本的な問題で,
容易に証明できます.

この回答への補足

ん~・・・区分求積をまだならってないのでまだ「?」な感じです。。
でも、でも数列{1/n}は∞にとばすと0ですよね?

補足日時:2007/03/03 16:37
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この回答へのお礼

↑「でも」が1つ多いのはタイプミスです。。

お礼日時:2007/03/03 16:42

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