2変数関数の条件つき極値問題について、 ラグランジュ未定乗数法で候補点を求めたあと、 ①ヘッセ行列の

2変数関数の条件つき極値問題について、

ラグランジュ未定乗数法で候補点を求めたあと、

①ヘッセ行列の正負
②f_xxの正負
で極値(極大値or極小値)かどうかの判定をするのはだめなんですか？

質問者からの補足コメント

• 条件が有界閉集合なら、
  候補点を代入した値のうち、大きい方が極大値、小さい方が極小値と判断していいってことですか？

    補足日時：2022/11/13 19:34

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/14 05:43

「ラグランジュ未定乗数法」とおっしゃるところからして、（ほとんどいたるところで）微分可能な等式制約条件がひとつ付いている、ってことでしょうかね。

すると、解が存在するのは等式制約条件で決まる集合X上ですから、本質的には1変数と同じこと。
(a) 極値がXの微分可能でない点（端点とか、折れ線やカスプの頂点とか）にあるかもしれない。
(b) 最小値（あるいは最大値）がXの孤立点にあるかもしれない。
(c) 極値とその近くでXは微分可能な曲線になっている。

(a)かどうか（もし「ホントは極値ではなく最大や最小を探している」んなら(b)も）をチェックしなくちゃいけませんね。(c)だとわかれば、未定乗数法でみつけた停留点における曲線の接線方向の2階微係数で決まる。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/13 19:50

有界閉集合に端が無ければ、そうです。

場合によって、多少の考察はあります。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/11/13 19:15

大丈夫です。

http://www.f.waseda.jp/ksuga/2005chap17.pdf

ただ、とても複雑なのと、一般の2変数の極値のように、ヘッセ
の式で求められない場合があります。

そこで有界閉集合上の連続関数は最大最小を持つことを使えば
簡単に解ける場合があります。それ以外の場合は、一般の場合と
同様、色々考える必要があります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/13 19:08

f(x,y)=y^2+x^4

のとき
f_x=4x^3
f_y=2y
f_xx=12x^2
f_xy=0
f_yy=2
f_xxf_yy-(f_xy)^2=24x^2
ヘッセ行列は
f_xx(0,0)f_yy(0,0)-{f_xy(0,0)}^2=0
f_xx(0,0)=0
だから正負で判定できない