一般の整域Rとその商体Kにおいて分数イデアルIの逆イデアル I^(-1)=(xはKの元|xIはRに含

一般の整域Rとその商体Kにおいて分数イデアルIの逆イデアル
I^(-1)=(xはKの元|xIはRに含まれる}は素イデアルであると言う以下の証明は正しいでしょうか？

x,yをRの元として

xyを I^(-1)の元とする。xyはKの元で
(xy)PはRに含まれる。ここで

xI, yIはRに含まれているから当然

x,yはI^(-1)の元となる。

よって I^(-1)は素イデアル

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/09 09:48

いいえ正しくありません

素イデアルは整イデアルでなければなりません
I^(-1)が整イデアルとなるとはいえません
I^(-1)が整イデアル
{Rのイデアル(真部分集合)}
でなければ
素イデアルとはいえません

R=Z=(整数環)
K=Q=(有理数体)
I=(2)={2n|n∈Z}
は素イデアルであるから
整イデアルで
分母が1の分数イデアル

I^(-1)={x∈Q|xI⊂Z}

I^(-1)={n/2|n∈Z}

II^(-1)=R
だけれども

1/2∈P^(-1)-Z
だから
P^(-1)はZに含まれないから
Zのイデアルにはならないから
Zの素イデアルにはならない