Ac:={bc│bc∈A}が左イデアルであることを示せ。

A:環、c∈Aとするとき, Ac:={bc│b∈A}が左イデアルであることを示せ。

この問題で、①AcがAの加法の部分群であること、②a∈A,x∈Acのときax∈Acであることは示せたのですが、採点の際「∅である可能性が書かれていない。」と書かれ1点引かれてしまいました。

∅である可能性って、イデアルが∅であるということでしょうか？？
正しい証明はどうなりますか？？
(教授に質問したのですがメールが帰ってこず...)
どなたが教えていただきたいです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/24 22:04

なぜわざわざ全く同じことを

なぞって言い直すのか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/24 19:31

①

AcがAの加法の部分群
である
ことを示すためには
Aの加法単位元
0
に対して
0∈Ac
を示さなければならない

0∈Ac
が示されたならば

Acは少なくとも0を要素にもつのだから
Acがφ(空集合)である可能性は無い
Ac≠φ

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/24 18:13

①AcがAの加法の部分群であること

がミス無く示せていたとすれば、
Acが空集合でないことはそこに含まれています。
部分群なら、単位元を持たねばなりませんからね。
何かミスしたんじゃないですか？