数学(代数学)について。 整域Z[√-3]は一意分解整域ではないが、0と単元でないZ[√-3]の任意

数学(代数学)について。

整域Z[√-3]は一意分解整域ではないが、0と単元でないZ[√-3]の任意の元が素元の積として表現されることの証明はどのようにすればいいのでしょうか。

Z[i]の類似かと思いましたが、上手くできないので(概要だけでも)教えていただけると嬉しいです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 19:39

訂正です

ω=(-1+√-3)/2
Z(ω)={x+yω|x,y∈Z}
とする

定理)
α,β∈Z(ω),β≠0の時
α=βκ+ρ
|ρ|<|β|
となるκ,ρがZ(ω)に必ず存在する
証)
Z(ω)∋x+yωは複素数平面上において120°の角度を有する菱形格子点である
α/βはこの格子のある菱形に属しそのある頂点から1より小さい距離にある
その頂点をκとすれば
|α/β-κ|<1
∴α-βκ=ρと置けば、|ρ|<|β|

この定理から素因数分解の一意性が出るから
Z(ω)は一意分解整域である
だけれども

Z(ω)⊃Z[√-3]は一意分解整域でないし

2
は
Z(ω)の素元だけれども
Z[√-3]の素元でない既約元だから
Z[√-3]の素元の積で表されない

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 19:25

ω=(-1+√-3)/2

とすると
Z[√-3]=Z(ω)={x+yω|x,y∈Z}

定理)
α,β∈Z(ω),β≠0の時
α=βκ+ρ
|ρ|<|β|
となるκ,ρがZ(ω)に必ず存在する
証)
Z(ω)∋x+yωは複素数平面上において120°の角度を有する菱形格子点である
α/βはこの格子のある菱形に属しそのある頂点から1より小さい距離にある
その頂点をκとすれば
|α/β-κ|<1
∴α-βκ=ρと置けば、|ρ|<|β|

この定理から素因数分解の一意性が出るから
Z[√-3]=Z(ω)は一意分解整域である

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 17:09

#1です間違えました先ほどの回答を取り消します

1+√-3=2(1+√-3)/2
1-√-3=2(1-√-3)/2
でした

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/28 17:02

R=Z[√-3]

素元の定義が
「
可換環Rの元
pは0でも単元でもなく
ある元aとbに対して
pがabを割り切るときにはいつでも
pがaを割り切るかpがbを割り切るとき
pをRの素元という
」
であれば

Z[√-3]の元
p=2は0でも単元でもないけれども
a=1+√-3
b=1-√-3
に対して
ab=(1+√-3)(1-√-3)=4=2・2
だから
p=2がab=4を割り切るけれども
p=2はa=1+√-3を割り切らない
p=2はb=1-√-3を割り切らない
から
p=2は素元ではない

x,y,z,wを整数とする
2=(x+y√-3)(z+w√-3)とする
両辺のノルムをとると
4=(x^2+3y^2)(z^2+3w^2)
x^2+3y^2≠2
z^2+3w^2≠2
だから

x^2+3y^2=1,z^2+3w^2=4
または
x^2+3y^2=4,z^2+3w^2=1

x^2+3y^2=1の時x+y√-3=±1は単元
z^2+3w^2=1の時z+w√-3=±1は単元
だから
p=2は既約元だから
素元の積に分解できない