dx(t)/dt =rx(t)｛1-(x(t)/K)｝ r,Kは正の定数とすると、この微分方程式はラ

dx(t)/dt =rx(t)｛1-(x(t)/K)｝

r,Kは正の定数とすると、この微分方程式はラプラス変換を用いて解くことは可能ですか？可能でしたら、解き方を教えていただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/11 18:34

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13089779.html
に書いたような理由で、それをラプラス変換で解くのは難しい。
無理なんじゃないかと思う。
方程式自体は、変数分離で簡単に解ける。
dx/dt = rx(1 - x/K) を
∫dx/{x(1 - x/K)} = ∫rdt と変形して、
左辺 = ∫{ 1/x + (1/K)/(1 - x/K) }dx
　　= log x + (1/K)・(-K) log(1 - x/K) + C₁　；C₁は定数
　　= log( x/(1 - x/K) ) + C₁
より
log( x/(1 - x/K) ) + C₁ = rt + C₂　；C₂は定数
になる。
x/(1 - x/K) = e^(rt + C₂ - C₁)
を経て、
x = K/{ 1 + (K/A)e^(-rt) }　；Aは定数
と変形できる。