次の微分方程式を解け dx/dt=e^ax+b これがわかりません。詳しく説明して欲しいです

次の微分方程式を解け
dx/dt=e^ax+b

これがわかりません。詳しく説明して欲しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/22 13:59

dx/dt=(e^(ax))+b とする。

a=0 の時は
1. a=0 のとき
　x=(b+1)t+A

2. a≠0 とする。与式は
　dx/(e^ax+b)=dt・・・・①

2.1. b=0 のときは積分して
　(-1/a)e^(-ax)=t+C → e^(-ax)=-at+A (A=-aC)
→ -ax=log(A-at) → x=(-1/a)log(A-at)

2.2. b≠0 のとき
y=e^ax+b　と置くと dy=ae^ax dx=a(e^ax-y)dx
すると①は
　dy/{ay(y-b)}=(1/ab){1/(y-b)-y}dy=dt
積分して
　(1/ab)log|(y-b)/y|=t+C → (y-b)/y=Ae^(abt)
ここで、A=±e^C と置いた(y=bの特異解も含め)。
　y=b/(1-Ae^(abt)) → y=e^ax+b=b/(1-Ae^(abt))
→ e^ax=b{1/(1-Ae^(abt)) - 1}=Abe^(abt)/(1-Ae^(abt))
→ x=(1/a)log{ Abe^(abt)/(1-Ae^(abt)) }
　　=(1/a){ log(Ab)+abt-log(1-Ae^(abt)) }

2.3 なお、y=0 の特異解は
　e^ax+b=0 → x=(1/a)log(-b)
である。当然、b<0のとき。