exp(x+y)=exp(x)exp(y)を和を計算することによって示

exp(x+y)=exp(x)exp(y)を和を計算することによって示せ。

つまり　Σ(0≦n≦∞)(x+y)^ n/n　!=｛Σ（0≦n≦∞）(x)^n/n　!｝｛Σ（0≦n≦∞）(y)^n/n　!｝　を示せ

という問題を出されたのですが、どうアプローチすればいいのかわかりません。
和の取り方を工夫すればいいと言われたのですが、どのように工夫すればいいのか見当もつきません。
始めてみたときは帰納法で証明できるかと思ってやってみたのですがうまくいきませんでした。


回答のとっかかりでもいいので教えてください。お願いします。

No.2 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/31 20:08

T(H)(x,y) = Σ[L=0,H](x+y)^L/L!

T(H)(x,y)
= Σ[L=0,H]Σ[m+n=L]C[L,m]/L! x^my^n
= Σ[L=0,H]Σ[m+n=L]x^m/m! y^n!/n!
= Σ[m=0,H]Σ[n=0,H]x^m/m! y^n!/n! - S(H)(x,y)
= U(H)(x,y) - S(H)(x,y)

S(H)(x,y) = Σ[L=H+1,2H]Σ[m+n=L,n≦H,m≦H]x^m/m! y^n!/n!

S(H)(x,y)　≦ Σ[L=H+1,∞]Σ[m+n=L]|x|^m/m! |y|^n!/n! = R(H)(|X|,|y|)

T(H)(|X|,|y|) + R(H)(|X|,|Y|) = exp(|x|+|y|)
T(H)(|x|,|y|) → exp(|x|+|y|), (H → ∞)だからR(H)→0、つまりS(H)→0
T = U - S より T=U

もっと簡単な方法があったような・・・

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/07/31 19:31

普通に微分積分の教科書の級数のところをみればでてるはず．

絶対収束級数が和の順序に依存しないってことで
コーシー積のサンプルとして超有名．
探せばすぐ見つかるのに・・・・