Σ[k=1→n]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)
=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・・(n+L+1)/(L+2)
この式を帰納法で証明するんですけど、
1,n=a+1,L=b
2,n=a,L=b+1
の時を仮定して
3,n=a+1,L=b+1の時に成り立つ。
とやるのかな??と思ってるんですけど、
計算がうまくできなくて(証明の計算)悩んでいるんですよ~。
よかったらヒントをください。
↓計算した結果
1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)
2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)
3,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>↓計算した結果
>1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2)
>2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3)
>3,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
↑3がちょっと違います。修正しておきました。
n=a ,L=1 のとき ・・・ア
左辺=a(a+1)(2a+1)/6 + a(a+1)/2=a(a+1)(a+2)/3
右辺=a(a+1)(a+2)/3
で成り立つ
n=1 ,L=b のとき ・・・イ
左辺=(b+1)!
右辺=(b+2)!/(b+2)=(b+1)!
で成り立つ
n=a+1 ,L=b のとき成り立つと仮定すると ・・・アア
>1,Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b)
>=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+2) ・・・アアア
n=a ,L=b+1 のとき成り立つと仮定すると ・・・イイ
>2,Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
>=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3) ・・・イイイ
ここで Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1) を考える
Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)・・・(k+b+1)
=イイイ + (a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)/(b+3) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(b+3)/(b+3)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・(a+b+2)(a+b+3)/(b+3)
よってn=a+1,L=b+1の時に成り立つ。
感想ですが、この証明にアアアの結果は使っていない。
使わなくても証明できるということは、やはり「二重帰納法」なんて必要がなかったってことじゃないですかね?
>3がちょっと違います。修正しておきました。
あ~~そんなところを間違うとは・・・
良い感じになってますねぇ~~♪
う~~ん・・・何でヤツは二重帰納法って言ったんだろう・・・
まぁ、そんな感じに書いておけばたぶん何とかなりますよね?
回答ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
>nを固定したときに、
>L=bで成り立つと仮定すると
>L=b+1のときでも成り立ちますよね?
↑この証明を考えてみたけれど、難しすぎてわかりませんでした。
#1の解答でも任意の自然数Lで成り立つことを言っているのだから、これで十分な気がしますが、どうなんでしょう?
お役に立てませんでした。
No.1
- 回答日時:
普通の帰納法でいけそうですよ。
n=1 のとき
左辺=(L+1)!
右辺=(L+2)!/(L+2)=(L+1)!
で成り立つ
n=a のとき成り立つと仮定すると
Σ[k=1→a]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)/(L+2) ・・・#
n=a+1 のときを考えると(#の結果を用いて)
Σ[k=1→a+1]k(k+1)(k+2)(k+3)・・・・・(k+L)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)/(L+2) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)
=a(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)/(L+2) + (a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1)(L+2)/(L+2)
=(a+1)(a+2)(a+3)・・・・(a+L+1){(a+(L+2)}/(L+2)
よって n=a+1 で成り立つ。
この回答への補足
nを固定したときに、
L=bで成り立つと仮定すると
L=b+1のときでも成り立ちますよね?
このときの計算のヒントをお願いします
お~~!!
だけど、先生が二重帰納法で。
って言ってたので、使った方が良いと思うんですけど・・・
どうですかねぇ?
回答ありがとうございました
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