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数列の応用の格子点の個数に関する問題です。

x+y+z≦n,x≧0,y≧0,z≧0を満たす整数の組(x,y,z)の個数を求めよ。

途中計算が簡略化されていて解答を見ても理解できないのですが詳しく教えて頂きたいです!

答えは(n^3+6n^2+11n+6)/6です

A 回答 (2件)

z を固定すると 0 ≦ x+y ≦n-z,


更に y を固定すると 0 ≦ x ≦ n-z-y だから、
求める格子点の数は Σ[z=0..n] Σ[y=0..n-z] (n-z-y)+1.
+1 してあるのは、0 ≦ x ≦ m を満たす整数 x の個数が m+1 だから。

計算すると、
Σ[y=0..n-z] (n-z-y)+1 = Σ[y=0..n-z] (n-z+1) - Σ[y=0..n-z] y
= (n-z+1)(n-z + 1) - (0 + n-z)(n-z + 1)/2  ; Σk の公式を使った
= (1/2){ (n-z)^2 + 3(n-z) + 2 },

Σ[z=0..n] Σ[y=0..n-z] (n-z-y)+1 = Σ[z=0..n] (1/2){ (n-z)^2 + 3(n-z) + 2 }
= Σ[k=0..n] (1/2){ k^2 + 3k + 2 }  ; n-z =k で置換した
= (1/2)Σ[k=0..n]k^2 + (3/2)Σ[k=0..n]k + (2/2)Σ[k=0..n]1
= (1/2)(1/6)n(n+1)(2n+1) + (3/2)(1/2)n(n+1) + (2/2)(n+1)  ; Σk^2 Σk の公式を使った
= (1/6)(n^3 + 6n^2 + 11n + 6)
= (1/6)(n +1)(n +2)(n + 3).
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3つの非負整数がありその和はn以下。

つまり (k+3)‐1=k+2 から 3‐1=2つの選び方「(k+2)C2」に等しい。(0≦k≦n)

∴ Σ[k=0~n](k+2)C2
=Σ[k=0~n](k+2)!/(k!・2!)
=(1/2)Σ[k=0~n](k+2)(k+1)
=(1/2)Σ[k=0~n](k^2+3k+2)
=(1/2)Σ[k=0~n]k^2+(3/2)Σ[k=0~n]k+Σ[k=0~n]
=(1/12)・n(n+1)(2n+1)+(3/4)・n(n+1)+(n+1)
=(1/6)・(n+1)(n+2)(n+3)
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