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e^(-x)*|sinx|
これを積分するにはどーすればよいですか?
途中式と答えを教えてください

質問者からの補足コメント

  • もう一つできたらお願いします!
    sin(mx)sin(nx)dx (n.mは自然数)
    これの0から2πまでの定積分の途中式教えてください
    こたえは0(m≠n),π(m=n)です!

      補足日時:2020/06/03 10:20
教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

これ、昨日回答した質問に含まれてたような気がするけど、


また削除くらったのかな?
それとも質問者が違うのか...

|sin x| の絶対値が外れるように、sin x の符合が変わる
nπ ≦ x < (n+1)π {nは整数} ごとに積分区間をバラして考える。
すると、n が偶数のとき (e^-x)|sin x| = (e^-x)(sin x),
n が奇数のとき (e^-x)|sin x| = -(e^-x)(sin x) になるから、
要するに ∫(e^-x)(sin x)dx が計算できればよい。

この積分は、受験方面では有名なやつで、
S = ∫(e^-x)(sin x)dx,
C = ∫(e^-x)(cos x)dx. と置くと
部分積分を使って
S = (-e^-x)(sin x) - ∫(-e^-x)(cos x)dx = -(e^-x)(sin x) + C + (定数),
C = (-e^-x)(cos x) - ∫(-e^-x)(-sin x)dx = -(e^-x)(cos x) - S + (定数).
S,C についての連立一次方程式を解いて、
S = { -(e^-x)(sin x) - (e^-x)(cos x) }/2 + (定数)
= -(1/2)(e^-x){ (sin x) + (cos x) } + (定数).

よって
∫(e^-x)|sin x|dx = ±(1/2)(e^-x){ (sin x) + (cos x) } + (定数).
だが、この式の ± は上記の n が偶数のとき -, 奇数のとき + になる。
また、与えられた初期条件と注目している x の範囲とで n が異なる場合、
x = nπ 毎に解の端点を繋いで、隣の区間の (定数) を順次求めてゆく必要がある。
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