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「互いに素」の定義…「1と2は互いに素か」「1と1は互いに素か」の問いに答えられる形で
お世話になります。
標記の通りの質問です。
一方に1が含まれる自然数の組にも「互いに素」は言えるのでしょうか?
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

互いに素 ⇔ 最大公約数が1


ですから、
メンバーに1が含まれていても、問題ありません。

この回答への補足

ありがとうございます。

互いに素なa,bで、b/aが整数になっても問題無いのでしょうか?

補足日時:2010/10/26 23:11
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構わないでしょう?


整数も、既約分数のうちですから。
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Q互いに素とは?

・「1」と「1」
・「1」と「2」

これらは、互いに素なんでしょうか?

「二つの正の整数があって、最大公約数が1である場合に、その二つの数は互いに素である」という定義だと、上記の例は互いに素であることになると思いますが、あってますか?

「互いに素」っていうのは、ちょっと奇妙な日本語のように思うのですが、
もとは外国語にあった概念を翻訳したものなのでしょうか?
他の国ではどう表現するのでしょうか?

Aベストアンサー

互いに素で良いでしょう。

1は特殊な数ですが

たとえば√2が無理数であることの証明のときに
p/q と置いてpとqは互いに素である整数(もちろん0でない)
としますね。

Q「整数aと整数bが互いに素」とは?

「整数aと整数bが互いに素」とは、いったいどういうことを意味するのでしょうか?

Aベストアンサー

【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax+by=1 を満たす整数 a, b が存在することは保証される。
------
まあ、要は「整数aと整数bが互いに素」とは『整数aと整数bの最大公約数が1である』ということを意味しています。
それ以上でもそれ以下でもありません。

こんな回答で良かったのでしょうか?元予備校講師的には、通常これ以上は説明不要である、と考えているのですが、一方、環やイデアルと言った論点の参考にするには、あまりにも足りません。
その辺は何卒ご了承下さい。m(_ _)m

参考URLは百科事典ウィキペディア(Wikipedia)の整数のページです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0

【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax+by=1 を満たす整数 a, b が存...続きを読む

Q互いに素と負の数

質問が複数ありまして、どうか教えてください。
ア:2整数A、Bが互いに素というとき、A、Bは自然数というのは前提ですか?例えば-2と-5や、-2と5は互いに素と言わないですか?
互いに素なら最大公約数が1のみだから、言わないのでしょうか?

イ:公約数に負の数は入りますか?例えば6と4の公約数の1つは-2、などと言いますか?

ウ:互いに素であることを示すなら、最大公約数が1しかないことを示すのと、公約数が1しかないことを示すのとどっちが普通ですか?

基本的なことですみませんが、基本が曖昧だったのでお願いします。

Aベストアンサー

1 を割り切る数のことを「単数」と言います。
整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。
整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。
整数の素因数分解については、例えば
30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5)
のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、
式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、
「素因数分解は一意である」と言います。
2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、
同じことである …とみなしているのです。

だから、ア.「互いに素」についても、2数が負数を含んでも構いません。
-2 と-5 や -2 と 5 では、公約数は 1 と -1 ですが、この2つは
互いに単数(-1)倍の関係なので、因子としては 1 個とみなすのです。
-2 と-5 は、互いに素です。

イ. についても、-2 は 6 と 4 の公約数か否か? と問われれば、
答えは「公約数である」ですが、公約数を挙げよと言われたとき、
負の公約数までいちいち挙げる必要は普通ありません。
「2 は 6 と 4 の公約数である」とだけ述べれば、その文意として
2 の単数倍である -2 が 6 と 4 の公倍数であることも含んでいる
と考えるからです。

因子の単数倍については、言わずもがなだから毎度言及はしない
だけで、負数も公約数公倍数に含まれることに違いはありません。

ウ. の2つの条件は、どちらも全く同じです。
元が 1 個しかない集合の最大値は、その 1 個の元ですから、
互いに素な2数の最大公約数と公約数は同じことです。
どちらが 1 個しかないと言っても、論理に違いはありません。
ただし、この場合も、「1 だけしかない」は、1 と -1 だけしかない
ことを指して言っているのです。

1 を割り切る数のことを「単数」と言います。
整数の世界(有理整数環)では、1 と -1 が単数です。
整除関係を考えるとき、因子の単数倍については余り気にしません。
整数の素因数分解については、例えば
30 = 2×3×5 = (-2)×(-3)×5 = 2×(-3)×(-5) = (-2)×3×(-5)
のように、-1 の付け方でいろいろバリエーションがあるのですが、
式中での因子の並び順や、各因子の単数(-1)倍は無視して、
「素因数分解は一意である」と言います。
2 が 30 の因数であることと、-2 が 30 の因数であることは、
同じことである …と...続きを読む

Q高校数学です。0は全ての整数の倍数なんですか

(例えば2は0の倍数なんですか)?調べてみるといろいろ意見が割れてました。

Aベストアンサー

はい。全ての整数の倍数です。

まず、0は整数です。
また、倍数は整数と整数の積と定義されています。

どのような整数に0をかけても0になります。

したがって、どのような整数の倍数も、必ず0を含むことになります。


因みに、自然数倍や正の倍数といった制約が付いている場合には0は含まれません。

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む

Q2,3,5,7,11などは素数だが1は素数で無いと言う、

ことをある程度信頼できる人から聞いた又聞きなのですが、1は素数ですか。違いますか?理由もよろしく。

Aベストアンサー

素数ではありません。
素数の定義とは、約数がちょうど2つある数です。
ですから、約数が1つしかない1は素数になりません。

Q不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?

DUO3.0 No404です
The vague rumor proved to be false. Nevertheless, some skepticism lingers on.
上記の二つ目の文章の主語は【some skepticism】ですが動詞に三単現のsが付いています。不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?
よろしくお願いいたします。(他に不可算名詞が主語になっている例文があったら紹介してください。)

Aベストアンサー

こんにちは。4/22のご質問ではお返事を有難うございました。

1.ご質問文の主語skepticismは「無神論」「懐疑論」という主義をあらわす、抽象名詞です。

2.抽象名詞は不可算名詞になります。

3.不可算名詞は数えられません。つまり、単数と同じ扱いになるのです。

4.不可算名詞が主語になる場合、三人称単数の扱いになります。従って、ご質問文の動詞には、三単現のsが付いているのです。

5.Someは「いくつかの」「いくらかの」「ある程度」といった意味を持ち、可算名詞、不可算名詞、両方を修飾することができます。

6.不可算名詞が主語になっている例文:

The sun is necessary for flowers.
「太陽は花に必要だ」
There was much snow.
「沢山雪が降った」

などがあります。
以上ご参考までに。

Q証明終了の記号。

証明が終わったという記号は、どんなものがあるのでしょうか?

調べたところ、QED、■、//があるということですが、手書きの場合だと、個人的な意見としては、//が書きやすいです。

ですが、よく使われるのは、QEDなのでしょうか?
最近の流行りがあるのであれば、どれが一般的なのか知りたいです。

Aベストアンサー

どれも非常によく使われますが、
どれを使っても ダサい ことに変わりはありません。
証明を書いたのと同じ言語で、「証明終了」とか
"That was to be proved." とか、書いておくのが
自然だと思います。証明をラテン語で書いたのなら、
"quod erat demonstrandum" ですね。

Q三角錐と四面体

三角錐と四面体の違いがわかりません。
2つとも、三角形を4つ組み合わせた形だと
思うのですが・・。

アホな質問かもしれませんが、辞書を引いてものっていないので、質問します。

Aベストアンサー

三角錐は4面体ですよ。
言い方が違うだけです。

でも四面体はイコール三角錐ではありません。
錐は底面の反対側に3辺の頂点がくるカタチですが、
単なる四面体は4面あればよく、斜めでもOKなのです。

言葉で説明するのは難しいですナ。

正四面体と三角錐もちょっと違いますがネ。


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