レピュニット数の性質についてです。 レピュニット数とは、各桁が1のみの数で、以下1がk桁の数をRkと

レピュニット数の性質についてです。
レピュニット数とは、各桁が1のみの数で、以下1がk桁の数をRkとします。

レピュニット数には
(A)m|n↔Rm|Rn
(B)mとnが互いに素↔RmとRnが互いに素

という性質があるのですが、どちらか片方の性質だけでも構わないのでどなたか証明を教えてください。
Rm+n=10^mRn+Rm

質問者からの補足コメント

• 続きはありますか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/22 13:52

• 数学のサイトにこの定理が書かれていまして、背理法で証明できた気がしたのですが、当サイトには「互除法や帰納法を利用してRm+n=10^mRn+Rmから導かれる」とありました。ですので互除法と帰納法のミックスでやってみたのですがうまくいきませんでした。
  以下が私の考えた謎ミックス案です。
  
  １．m<n<2m→Rn=10^(n-m)×Rm+R[n-m]
  ２．2m<n<3m→Rn={10^(n-m)+10^(n-2m)}Rm+R[n-2m]
  …
  ｋ．km<n<(k+1)m
  →Rn={10^(n-m)+10^(n-2m)+…+10^(n-km)}Rm+R[n-km]
  　
  １．において互除法を使ってみます。
  Rn=10^(n-m)×Rm+R[n-m]
  Rm=10^(2m-n)×R[n-m]+R[2m-n]
  …
  Ra=10^(a-b)×Rb+R[a-b]
  　
  字数制限ありました。次です。

    補足日時：2023/07/23 14:11

• Ra=10^(a-b)×Rb+R[a-b]
  
  Raの1の位は1なので、
  ・a-bが0で余りが0のタイプ
  ・a-bが1で余りが1のタイプ
  　
  (ⅰ)m,n両方奇数のとき
  n-m→偶
  m-(n-m)→奇
  (n-m)-(2m-n)→奇
  (奇)-(奇)→偶
  (奇)-(偶)→奇
  (偶)-(奇)→奇
  …
  
  mが偶数、nが奇数のとき
  も同様にしようと思いましたが、ここでそもそもｎについての場合分けがうまくいっていないことに気づきました。
  例えば、n=21、m=19のとき１．に分類されますが、その後m=19，n-m=2になってしまいます。
  　
  そしてよくわからなくなりました。

    補足日時：2023/07/23 14:25

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/23 17:08

あ, 質問文に m|n って書いてある. m ≦ n に変えとこ.

gcd(Rm, Rn) = gcd(Rm, R(n-m)) に納得できればあとは簡単で, n = km + r (1 < r ≦ m) とすると帰納法から
gcd(Rm, Rn) = gcd(Rm, Rr)
になる. んで, r=m (つまり m|n) なら gcd(Rm, Rn) = gcd(Rm, Rr) = Rm だから Rm | Rn. 一方 r<m (つまり n が m の倍数でない) なら Rr < Rm なので gcd(Rm, Rn) = gcd(Rm, Rr) < Rm だから Rn は Rm の倍数でない.

(B) は (A) から g = gcd(m, n) とおいて Rm, Rn, Rg の関係を考えればいい. R1 = 1 に注意.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すごいです。

お礼日時：2023/07/23 22:24

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/23 12:56

もちろんあれで全てじゃないよ.

でもさ, これってあなたがやるべきことでしょ? 全部他人に丸投げ, ってのはさすがに虫がよすぎると思わない?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/22 12:39

m > n として

gcd(Rm, Rn) = gcd(R(m-n), Rn).