背理法ってどんな意味？

背理法ってどんな意味？

No.1 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/04/30 18:09

証明の一つの手法で、

A⇒not B
と仮定すると、矛盾が出てくることから
A⇒Bが証明するというやり方。

よく使われる例としては
√2が無理数であることを証明したい場合に、

√2は有理数であると仮定すると、
√2=m/n m,nは互いに素である整数
⇒　2=ｍ²/n²
⇒2n²=m²
mは２で割り切れるので　m=2k　ｋは整数と置くことができ、代入すると、
⇒2n²＝4ｋ²
⇒ｎ²＝2ｋ²
nは2の倍数である
⇒n,mはたがいに素ではない
という矛盾が出てくるので、
√2は有理数という仮定が間違っている
⇒√2は無理数である。

が有名

No.2 回答者： ir-y 回答日時： 2024/04/30 18:11

背理法とは、「命題Aを証明するのに、命題Aが成り立たないと仮定すると矛盾が導かれること示すことで、命題Aが成り立つと証明する方法」のことです。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/04/30 19:29

他の回答にあった事に少し加えて説明すると、背理法とは排中律と言う規則を利用して証明するやり方です。

排中律とは簡単に言えば「物事はAであるかAでないかのどちらかである」と言う規則で、背理法では証明したい命題「Pである」の否定「Pではない」を仮定して推論を進めて行き、まずは「Pではない」と仮定すると矛盾が生じる事すなわち「Pではない」が正しくない事を証明します。そして前述の排中律によって「Pである」または「Pではない」のどちらかであり、そして「Pではない」が正しくないとしたら「Pである」が正しいと言う形で目指す命題を証明します。