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速度の式を見てると何故微分するのかわからなくなります
微分の直観的な理解の仕方を教えて下さい
何故速度をtで微分すると加速度が出るんですか

質問者からの補足コメント

  • 3次関数を微分すると2次関数になりますよね
    なぜ2次関数を出す必要があるんですか?

      補足日時:2024/04/25 14:59

A 回答 (7件)

そもそも「微分とは何か」を数式上の意味でしか分かっていないのでは(数学的な意味においても)。

まずはそこからのような気がしますが。

y=f(x)と言う関数を考えた時、xの増分Δxについてのyの増分Δyから

Δy/Δx

と言う量を考えると、これは「xの変化量Δxについてyの変化量Δyがどうなるか」を表しています。そしてΔxを0に近付けた極限を「xについてのyの導関数」などと言い、そしてこう言った関数を求める事を「yをxで微分する」と言います。

そしてこれから具体的な問題に当てはめて行くと、まず時間tだけ進んだ時に最初の位置から進んだ距離をsと書く事にすれば、時間Δtの間に進んだ距離Δsから考えた

Δs/Δt

と言う量はΔtの間の平均の速さと考える事ができます。そしてΔtを0に近付けた極限は「その時の瞬間の速さ」と言う事になります。そしてこれを

ds/dt

と書きます。すなわちこれが「速さとは距離を時間で微分したもの」と言う意味になります。速度と加速度についてはこの話をもう一回繰り返せばできます。
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>何故速度をtで微分すると加速度が出る


加速度の定義を勉強し直してください。「単位時間当たりの速度の増加分」とか書いてあるはずです。微小区間で考えれば差分は微分になる。
>なぜ2次関数を出す必要があるん
必要はありません。力の加え方に応じた任意の関数でいいのです。
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数学的な意味と、それを自然現象に応用としたときの物理的意味を、一緒に考えるから、混乱するのです。



まず数学的な意味

何でもいいから、y=f(x)グラフを書く

そのグラフの、各地点での、接線の傾きを出すのが微分
そのグラフの、X軸の間の面積を求めるのが積分

です。3次関数を微分すると2次関数になるのは結果であって理由はありません。

3次関数の各地点での接線の傾きは2次関数になっていた。
2次関数のグラフが作る面積は3次関数になっていた。

という、数学的な定義にしたがって計算すると、そうなると言うことです。

次に物理的な意味。

(1)距離の時間微分は速度

横軸を時間t、縦軸を距離:x つまりx=f(t) というグラフを書いて、微分の定義を考えると、

微分 > 接線の傾き > 距離/時間 >すなわちその時刻の速さ

(2) 速さの時間積分は距離

もうひとつ、横軸を時間t、縦軸を速さv つまりv=f(t)というグラフを書いて積分の定義を考えると

積分 > グラフの面積 > 時間*速さの和 >すなわち進んだ距離

になるということです。物理にとって数学は記述するための言語ってことで、それを混合して考えると、どこまで行っても理解はできません。
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貴方は、学校で手を上げて先生に質問はしていないの?


一々回答していると補足で次から次に質問が出てきそうなので、
「学校で先生に質問しましょう」。
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> 微分の直観的な理解の仕方を教えて下さい


クルマが時間T1の時に場所P1から、T2の時にP2に移動していた場合、
平均速度V=(P2-P1)/(T2-T1)で求まります。

P1で速度ゼロから走り始めて、加速しながらP2を走り抜けた時は、
速度は変化し続けています。

途中のある瞬間での速度を求める場合は、
走行中のある短時間dtにおいて、
この間の移動距離を観測した結果がdLとするとき、
瞬間速度v=dL/dtで求まります。
これを、位置の変化を時間で微分すると速度になる、と言います。

速度が変化し続けている(加速している)と言う場合、
加速度gと言う力(動力)が加えられている結果です。
走行中のある短時間dtにおいて、
この間の速度変化を観測した結果がdVとするとき、
加速度g=dV/dtで求まります。
これを、速度の変化を時間で微分すると加速度になる、と言います。
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速度の話をするなら…


速度を微分することによって、アクセルを踏んでいるのか、ブレーキを踏んでいるのか、またその踏み具合を知ることができます。

一気に増えたのか、少しずつ増えたのか、変化なしか、少しずつ減ったのか、一気に減ったのか、その瞬間の変化量を数字で確認できます。
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これが楽しく学べるかなぁ


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