相対性理論の加速度とは。

加速度といっても、条件を単純にした話です。

静止系からみて宇宙船が静止していた状態から加速します。宇宙船の中に乗っている人が一定の力を受けながら加速します。

例えば、その力を加速度に直すとg(地表と同じ)だとします。


この宇宙船を静止系からみたときの加速度は、どうなりますか。一定ではなくなって時間の関数になりますか。

宇宙船を静止系からみたときの
①加速度
②速度
③位置
を静止系の時間をtとして式で教えてください。(微分関数を解いた状態)

・・・・
今度は、逆に、静止系からみて、一定の加速度になるようにします。といってもこれは速度が増えるほど難しくなると思います。

しかし、できるだけ続く限り、一定の加速度(その加速度をaとする)に見えるようにしたとき、
④静止系からみた宇宙船の速度
⑤静止系からみた宇宙船の位置
⑥宇宙船の中の人が感じる加速度
をtの式で教えてください。
(微分方程式を解いた状態)

・・・・
ちなみに、普通に「加速度」と言ったら、前者のことでしょうか。後者のことでしょうか。
(自分が感じる自分の加速度のことか、自分が他者をみたときの他者の加速度のことか)

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/24 21:43

前にもおんなじようなこと質問してませんでしたっけか。

えーと、
　静止系でVで飛んでる宇宙船が加速する。宇宙船での時間tは、静止系の時間Tと
　　dT/dt = 1/√(1 - (V/c)^2)
という関係にある。そして、宇宙船での加速度(dv/dt)は、静止系での加速度(dV/dT)と
　　dV/dT = (dv/dt)(1 - (V/c)^2)^(3/2)
という関係にある。

● dv/dt = aが定数の場合、
　　∫(1 - (V/c)^2)^(-3/2) dV = ∫adT
より
　　V/√(1 - (V/c)^2) = aT
Vについて解いて、
②静止系での速さVは時刻Tにおいて
　　V = a T/√(1 + (aT/c)^2)
③静止系での位置Xは時刻Tにおいて
　　X = ∫V dT = ((c^2)/a) (√(1 + (aT/c)^2))) - 1)
①静止系での加速度Aは時刻Tにおいて
　　A = dV/dT = a (1 + (aT/c)^2))^(-3/2)

● 一方、dV/dT = A が定数の場合には（もちろんT < c/A の範囲でしか意味がないわけだが）
④は
　　V = AT
⑤は
　　X = (1/2)AT^2
⑥は
　　dv/dt = A((1 - (AT/c)^2)^(-3/2))
だけど、これらをtの関数で表せというご注文。そのためには
　　t = ∫(√(1 - (AT/c)^2))dT
　　= (AT√(1 - (AT/c)^2) + c arcsin(AT/c))/(2 A)
をTについて解きたいわけだが、残念ならがこれはちょっとムリっぽいんで、Tを与えてtと④⑤⑥を計算する、というところで我慢するしかない。

　なお、宇宙船の時間tはAT/c = 1で「終わる」のだが、それは
　　 t = πc/(4 A)
となるとき。

No.2 回答者： chiha2525 回答日時： 2023/06/22 06:50

同じ現象を、別の慣性系の人々が観測したらそれぞれ別のことが起こっているように見えるなどということはなく、同じ現象は同じ現象として観測されます。

これって非常に当たり前のことなのですが、相対性理論をかじった人が良く間違えてしまうところです（慣性系ごとに見え方が違ってくるってのが相対性理論と思ってしまうｗ）。

なので宇宙船の中の人も地球の人も、宇宙船にｇの”加速力”が掛かっているのは同じです。しかし宇宙船の中の人はｇの”加速力”で加速しつづけるのに対して、地球の人は宇宙船はｇほどは加速していきません。なのでｇの”加速力”は同じだけど加速が遅く見えるのは、（見かけの）重さが重くなったからだろうみたいな解釈をされるわけです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/20 10:31

よくしられています

https://eman-physics.net/relativity/uni_accel.html

ちなみに
⑥は g