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これまでも、数学の色々な事柄について疑問を提示させてもらってきましたが、特に無限が関わってくることでは、自然数が無限にあることor構成できることを自明の理としていました。しかし、本当に自明の理としてよいのか?とふと、疑問に思ったのです。
自然数が無限にある、構成できるということについて、よくあるのが、「仮に最大の自然数があるとしても、+1をすれば、それより大きな自然数を作れる。∴自然数は無限にある」とする論法です。+1を計算せずとも、書かれた自然数の末尾に0を付け足せば、十倍の自然数があることになる。でも、本当にそうなのか?
なるほど、どんな任意の大きさの自然数を書いても、その末尾に0を付け足せば、表記上では、より大きな自然数ができているようですが、数としては意味がない、定義不可能となるような事態が本当にないと断言できるのか?という疑問です。0での割り算、例えば、1/0でも、書くだけならできる。しかし、この式は数学的には意味がないでしょう。それと似たような状況が自然数にはないと保証があるのでしょうか?
有理数の無限性も、n/mの分子、分母の自然数、(n,m)が無限にあることを前提としているし、こじつければ、無理数とて、n、mが無限の桁数必要になる数とごり押しで定義すれば、やはり、自然数の無限性に依っていることになる(凄い強引ですが)。
さらに、無限級数にしても、無限回足し算をするということで、この無限回ということに、自然数の無限性が出てくることにならないでしょうか?数多の数学的操作で、極限などもそうです、新たに数を構成する場合でも、自然数の無限性に根拠を持ってくる場合が非常に多いと思います。
数学の、解析学になろうかと思いますが、公理においては無限という言葉は使わずに、こと数の大きさという観点に絞った記述では、どんな大きさの数を用意しても、必ずそれより大きな数が存在する、としているようです。これは、自然数の無限性を表現するときにも、使っていることでしょう。しかし、これは定義であって証明ではない。
現行の数学はZF公理体系だと認識していますが、この体系が自己無矛盾であることは証明されていないとも聞いています。もしかすると、この無矛盾の証明がされていないことが、現在の体系で自然数が無限にある=どんな大きさの自然数を用意しても、必ず、それより大きな自然数がある、用意できるとすると、おかしなことが起こる可能性に結び付いていないかなぞと考えてしまうのです。
もし、万が一でもそんな事態になれば、有理数や無理数にも、大きな影響が出てくる。
が、しかし、多分、そんなことはないのでしょうね?現在の数学において、自然数の無限性、つまり、どんな自然数を用意しても、それに+1できるし、それで矛盾が生じることなどないということはちゃんと証明されている。もしくは、自然数の無限性を可能な事として定義し、それで、矛盾のないように整えられてきたのが、現行の数学体系である、ということがより実態に近いのでしょうか?
無限回の足し算のような、自然数の無限性を前提とする操作も、それを利用して定義される数多くの数も、それが可能になるように構築された体系の下で展開されてきた数学の賜物というところか。
あるいは、もし、おかしなことが起こる可能性を100%排除できないとしても、今のところ、そんな事態は発見されていないし、起きたときに対処すればよいということになっているのでしょうか?

かなり長くなってしまいましたが、最後に余談を少し。
数学ではなく自然科学、特に物理学の分野になるかもしれませんが、自然は自然数が無限にあるとしているのか?ということも疑問になります。数が実在するか?は哲学的な問題でしょうが、まさに自然数なのですから、自然数と対応付けられる事柄、例えばリンゴを1個2個と数えるといったこと等として、自然は自然数が無限にあるとする性質を持っているのか、気になると言えば気になります。理論物理では、時空間が無限に広がっていることを前提としているようですが…。確率、統計論では現実に起こる事象を対象にするのですから、自然が無限の自然数を許容しているかどうかは、決して机上の理論だけの問題ではないでしょう。と言って、実証を何より重んじる自然科学では、観測や実験で無限を証明することは至難の業でしょう。だから、現実問題としては、無限ではないかもしれないが、当面、問題となっている範囲では例えば空間的な距離が無限と考えて差し支えないほどに、十分大きいとして扱うとしているのでしょうね。

質問者からの補足コメント

  • ここでは、有理数や無理数を自然数を使った分数に関連付けていますが、もちろん、有理数、無理数ともにマイナスの場合もあります。が、これは自然数に、マイナス記号をつければよいから、この場での無限性についての疑問に本質的に影響ないものとします。

      補足日時:2023/11/26 13:38

A 回答 (4件)

数学が「形式科学」に分類されてる理由を少しは学んだ方が良い。



数学は絶対的真から出発してる科学じゃ有りません。
人が定めた定義・公準から出発していて、定義・公準は証明不可能。
証明できたとすれば、それは定理へ格下げされるだけです。

自然数の定義・公準から導き出された結果は「数学上ので真」です。
絶対的真じゃ有りません。

定義・公準から相反する結論が導かれなければ、その体系は真です。
さらに、その体系に矛盾があるか無いかは、数学では証明出来ないのです。
(100年以上も前に結論が出ている事なんだけど)
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質問者は自然科学について勘違いしているようである。



「慣性の法則」というが、それを証明することはできない。
「万有引力の法則」も、ニュートンが思いついたアイデアであり見たり感じたりした人間は誰もいない。つまり証明不可能である。
熱力学の三法則だって、経験則であって理由を証明できたわけではない。
相対性理論もそうだし量子力学だって証明不可能である。

自然科学は「証明不可能」な仮定の上に成り立っているのである。
「原理」とか「法則」とかいう。
そして数学も自然科学である。
自然科学である以上、いくつもの証明不可能な原理や法則、公理の上に成り立っている、それが数学である。

原理や法則そのものは証明不可能でも、そこから導かれた定理が正しいなら原理や法則も正しいとして差し支えない。
それが自然科学の立場である。
どうせ原理や法則を解明することはできないのである。
ならばそういう次善の策を取るしかない。
100%を待っていては科学はいつまでたっても前進できない。
この世はいつでも分からないことだらけである。

質問者もすこし科学史を学んだ方がよい。
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> 自然数が無限にあること


を証明するためには、自然数とは何であるか
どのような性質を持つものかを定めておかなければなりません。
漠然と「例のいつも自然数と呼んでるアレ」では駄目で、
「自然数」という言葉の意味をきちんと定めて
証明を書く人と読む人で共有しておかなければ意味がない。
言葉の意味を定めて明文化しておくことを「定義する」と言います。
自然数を定義する方法は複数あり得るでしょうけれども、
現代の数学では、No.1 が書いている「ペアノの公理系」を使うのが通常です。
その中には、任意の自然数 n について n+1 も自然数であることが、
公理(自然数が自然数であるために欠くことのできない性質のひとつ)
として既に含まれています。だから、「仮に最大の自然数があるとしても、
+1をすればそれより大きな自然数を作れる。∴自然数は無限にある」
とする論法は、正当な証明なのです。

> 有理数の無限性
については、「自然数⊂有理数 だから」だけで十分でしょう。
分数記法を持ち出す必要はありません。

> これは定義であって証明ではない。
いいえ、定義は証明の一種です。
定義は公理の集まり。証明とは公理から出発して
推論規則の繰り返しで得られた命題のことですから、
「定義より自明」も立派な「証明」です。

> ZF公理体系だと認識していますが、
> この体系が自己無矛盾であることは証明されていない
まあ、それはそうなんですけど。それを言い出すと、
ゲーデルの不完全性定理の時点で「数学は無意味。解散。」で
全ての話が終わります。公理的集合論に基づく数学の定理は、
全て冒頭に「ZFが無矛盾であれば、」という枕詞が省略されている。
それを認めて数学をするか、数学の存在を否定するか
どちらかを選ばなければならないんだろうと思います。

> 自然は自然数が無限にあるとしているのか?
自然科学は、観察して感想を持ったり計算して予想したりするもので、
何かを定義したり証明するようなものではありません。だから、
自然の中には「自然数」や「無限」のような概念は存在しない。
自然は、ただそこにあるだけです。
ただそこにあるといえば、宇宙の中の素粒子の総数は有限だと
聞いたような気がしますが、どうなんですかね?
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いちおうかくにんだが, Peano の公理系は前提にしていいのかな?

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