実数の無限と自然数の無限の違い

こんにちは。
タイトルの通り、実数の無限と自然数の無限の違いについて教えてくださいませんか？
大好きな数学の先生に訊かれたので、どうしても答えたいんです。（よこしまな理由でスミマセン・・・
宜しくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/01/15 14:44

すみません。

逆に打ち込んでしまいました。
実数の無限濃度・・・aleph（連続体濃度）
自然数の無限濃度・・・aleph0(可算無限濃度）
です。

ついでに、もう少し解説を加えましょう。
集合論では個数の概念を拡張した「濃度」あるいは「基数」という概念を導入します。自然数は1,2,3,・・・と数えていくことが可能です。ただし、数えるには無限の時間が必要です。有理数も並び替えると、1,2,3,・・・と数えることが可能ですので、有理数全体の集合の濃度はaleph0となります。ところが、実数は1,2,3・・・と数えることが不可能であることが証明できます。

この回答へのお礼

わざわざ訂正ありがとうございます。
つまり、実数は数えるのが不可能で、自然数は無限の時間を要するものの数えることができる、ということでしょうか？

お礼日時：2006/01/16 18:26

No.5 回答者： nadja 回答日時： 2006/01/15 16:35

これはよい回答ではないのですが、、、

「無限」とは「無限大」のことを言われているのでしょうか。
それなら両方の無限は一緒になります。それはなぜでしょうか。

数学では「無限大」をもともと、実数や自然数のような「数」としては認識されていないものです。そうです。もし無限大が自然数の集合に存在したら、それより大きな自然数をまた持ってくることができてしまうからです。こんがらがるかもしれませんが、強いてイメージをつけるとしたら、「無限大」は行き先を示す「方向」です。そう英語で言えば、方向の「for」です。例文

1,I go to the hotel.
2,I go for London.

1は「hotel」に意識が集中していますが、2は「Londonの方向」に力点が置かれているのです。

ベン図で自然数の集合でもかくと、そのちょうど外側にあるのが「無限大」ということになります。自然数の集合には入ることはできません。

というわけで自然数の無限と実数の無限は、「方向」としてみると「同じ」になってしまいます。

また最後によく積分で「0から無限大までの積分をせよ」という件がありますが、あれも「方向」と解釈すれば問題ないと思われます。

これよりも「実数って集合ではない」とポツリとコメントすると好感度があがるかもしれませんね。「集合」という概念の定義を思い起こせば、一目瞭然でしょう。いろいろな教科書にこういうことが書いてあるので、しらべてみてはいかがでしょうか？

この回答へのお礼

遅くなってスミマセン！！

ダイスキな先生とお話できて、他の皆様が教えてくださったお話をした後にこのお話を出したら、びっくりされちゃいました・・・ｖ

どうもありがとうございました！

お礼日時：2006/05/19 00:41

No.4 回答者： affected_kitty 回答日時： 2006/01/15 16:02

数学の先生、ということは大学生ではないということでしょうか。

集合論についての知識がないものとして説明させていただきます。
簡単に言うと、『個数の違い』があります。ojisan7さんが言われている「濃度」のことです。自然数＝１，２，３，・・・はものを数えるときに使う数ですよね。つまり、無限個のものであっても順番に数え上げができれば、自然数と同じ個数（濃度）を持つということが言えます。例えば、整数について考えてみましょう。正の整数が自然数なのだから、一見自然数の方が個数は少ないように思えます。しかし、０→１→－１→２→－２→・・・として数えていけば、漏らすことなく整数を数えることができるので、実は自然数と整数の個数は同じということになるのです。こうして考えると、実数は数え漏れがないように順番に数えることって可能でしょうか？どうがんばっても実数側にあまりが出てしいまいますよね。だから、実数の方が個数が多い、ということになるのです。
厳密な説明ではないため、詳しい証明などを知りたければ他の方の回答を参考にしてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
はい、私は中学生です。事前にはっきりと明記しておらず申し訳ありません。
実数は数えなければならない数が無限、自然数は数えるのに必要な時間が無限、ということでしょうか？
分かりやすく解説してくださってありがとうございました！

お礼日時：2006/01/16 18:30

No.2 回答者： osamuy 回答日時： 2006/01/15 14:32

「調べたけど解りませんでした」と答える方が効果的では。

先生ならば、自力で努力する方が、好感度UPだと思われます。
恋愛感情があるかどうかは別として。

参考URL：http://www.google.com/search?q=カントール+対角線論法

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
私の性格のせいなのですが、よっぽどのことでなければ私から先生の方に話しかけるなんて出来なくて・・・わざわざ「出来ませんでした」を言いに行く勇気はないんです。申し訳ありません。
URLは参考にさせて頂きました、「数学にときめく」という本にカントールが出てきたことを思い出しました・・・
ありがとうございました！

お礼日時：2006/01/16 18:23

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/01/15 14:29

実数の無限濃度・・・aleph0（連続体濃度）

自然数の無限濃度・・・aleph(可算無限濃度）
aleph（アレフ）といっても「オウム真理教」とは関係ありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
私が申し上げていなかったもので大変申し訳ないのですが、私は一応中学生でして・・・この説明ではあまり理解することが出来ませんでした。お時間を割いていただいたのに申し訳ありません。
ですが、お気持ちにはとても感謝しております。ありがとうございました！

お礼日時：2006/01/16 18:20