Vをn次元実ベクトル空間、ΓをVの部分群とする。この時Γが離散部分群であればΓが格子となることを示し

Vをn次元実ベクトル空間、ΓをVの部分群とする。この時Γが離散部分群であればΓが格子となることを示します。

V_0をΓで張られるVの線形部分空間とし、mをV_0の次元とします。
このときΓの元からV_0の基底を選べるのでV_0の完全格子
Γ_0=Zu_1+.......+Zu_m ⊆Γ
ができる。

ここで(Γ:Γ_0)が有限であることを示す。

これを示すためにγ_i ∈ΓがΓ/Γ_0の剰余類の代表系を取るものとする。

Γ_0はV_0で完全なので基本平行体
Φ_0={x_1u_1+.....+x_mu_m|
x_i ∈R,0≦x_i<1}

を平行移動したΦ_0+γ_0の全体でV_0を覆うことができる。

よって任意のγ_i ∈Γは

γ_i=μ_i+γ_0i
(μ_i∈Φ_0, γ_0i∈Γ_0⊆V_0)

と書くことができる。

ここまではいいのですが

μ_i=γ_i-γ_i0 ∈Γは有界なΦ_0の中で離散的なのでその個数は有限である。とあるのですが、なぜこれで有限と言えるのかが分かりません。μ_i=γ_i-γ_i0 ∈Γは有界なΦ_0の中で離散的なのでその個数は有限であると言える詳しい証明を教えてください。

という質問に対して以下の解答をいただきました。

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離散部分群の定義↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3 …
実ユークリッド空間は局所コンパクトですから、
V の有界部分集合である Φ_0 は、有限開被覆を持ちます。
「離散的」の定義により、Φ_0 の中で離散的な集合の元の濃度は
Φ_0 の開被覆の濃度以下です。よって有限。

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この回答についてさらに質問があります。


1.実ユークリッド空間は局所コンパクト

と言えるのは何故ですか？


2.ユークリッド空間において任意の点xに対して有界閉集合となる近傍が存在すればハイネボレルの被覆定理でコンパクトな近傍の存在が言えると思いますが任意の点xに対して有界閉集合となる近傍が存在するという部分の証明がわかりません。


3.「離散的」の定義により、Φ_0 の中で離散的な集合の元の濃度は
Φ_0 の開被覆の濃度以下と言える理由と、これがわかると何故有限性が言えるのか分かりません。

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2020/05/06 10:12

1. ハイネ・ボレルの被覆定理(

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4 … )と下記から。

2. B(x,r)={y| |x-y|≦r } とする。r>0に対してB(x,r)はxの有界閉集合な近傍になる。

3. 『
「離散的」の定義により、Φ_0 の中で離散的な集合の元の濃度は
Φ_0 の開被覆の濃度以下です。
』はこの通りなら正しくはないかと。開被覆の作り方次第では言えるかもしれませんが。
なお、離散でコンパクトな空間は有限なので、コンパクト空間で離散的な部分集合は有限でしょうね。