９と１０の間にある数

ふと中、高生だったころ数学で感じた疑問を思い出しました。
９と１０の間には無数の数があるか？無限の数があるか？
という問いに「無限」と答えたのですが、×で、無数だと言われました。
無数だけど有限で、無限ではないと。

なんででしょうか。

No.11 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/12 22:35

＞ たまたまカウントしなかっただけで

＞ 存在している数は、無限にあるように思うのです。

その先生が、言いかけて説明し切れなかった
「無数」と「無限」の違いは、その「カウント」にあった
のではないか？ と、勝手に想像しています。

いくらがんばってカウントしてみても、９と１０の間に
無限に在る有理数のうち、カウントできるのは有限個だけ
です。ただし、この「有限」には上限が無くて、
どんなに大きい有限個であっても良い。この状況を
「任意有限個」と言ったりもします。
その先生の「無数」の意図は、普通に言えば任意有限個
のつもりだったのではないかと。

でも、任意有限個なのはカウントされた数の個数だけで、
９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。
単に、無限個全部はカウントできない… という話。

これに対して、カウントできないものを存在すると認めて
よいのか？ と疑問視する人たちがいて、その一派は、
無限は「任意有限」の意味でだけ存在する… と考えてしまう
のです。この意味での「無限」を「可能無限」と呼びます。
数学で普通に扱う、実際に存在する無限「実無限」とは
違うものです。

数学というより、哲学の領域ですが。

参考URL：http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞カウントできるのは有限個だけです。
そうですね。
でもカウントできないのは私側の事情であって、客観的に存在するのかしないのかには関係ないと思うのです。
今思いついたんですが、たとえば、グーグルマップが東京の明治通りの上いる、とあるアリを撮影することができないからといって、そのアリが存在しないわけではない。みたいな。

＞この状況を「任意有限個」と言ったりもします。
なんと。
「任意有限」なんていう観念があるんですか…。
「可能無限」に「実無限」…いろいろな観念があるんですね。初めて知りました。ありがとうございます。
（それぞれの単語を検索してみましたが、その本当に意味するところは分かりませんでした。）

＞９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。
そうですよね。そう思うんですが。

お礼日時：2009/04/13 03:44

No.14 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/13 21:31

＞　＞９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。

＞　そうですよね。そう思うんですが。

それは、貴方が「実無限」の立場をとっている ということです。
私も、その立場です。 数学者の大多数も、そうじゃないかな？
しかし、世間には、自分の目で見たものしか信じない という
偏屈な連中がいて、「可能無限」の立場をとっているのです。

彼らは、例えば、実数は無数に存在するが、実際に存在が示せるのは
実数の一部でしかなく、無限の実数全ての存在を明示できる訳ではないので、
「実数全体の集合」などは存在しない とか言っているのです。

参考URL：http://apm.musabi.ac.jp/~ryoji/rev1998/1123.html

この回答へのお礼

＞数学者の大多数も、そうじゃないかな？
そうなんですか。
すると、その先生の方が少数派だったんですね。
当時、瞬間的にですが、「有限だ」ということが納得いかなくて、ものすごく苦しめられました。

＞「実数全体の集合」などは存在しない
む。そう言われるとそう考える人がいるのもおかしくない気がしてきました。
でも、「集合」とこう、閉じた袋の中身のように考えるからそうなっちゃうんで、
実数の個数は無限だと、やっぱり思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/04/15 02:24

No.13 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/04/13 11:34

>「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例になってます。

肝心なことを書き忘れ。
x(y) が異なれば、y(x) も異なる、ということ。
「一対一」の大事な条件でした。

No.12 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/04/13 08:35

>..... 「∈」の意味がわかりません。

....

表示を簡略化しすぎて、意味不明になりましたかね。あまり難しく考えないでください。

x∈[9, 10) は、9 から10 までの間のある実数 x (x=10 は除外)です。
その範囲で一つの x を指定したとき、y = (x-9)/(10-x) により一つの y がきまります。x=10 のとき、y は無限大。
x∈[9, 10) なら、y は 0 から無限大の間のある実数です。
逆に、0 から無限大の間のある実数 y を指定すると、x∈[9, 10) の x が一つきまるはず。

これは、「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例になってます。
つまり、0 から無限大の間のある実数が無限個数なら、9 と 10 の間にある実数も無限個数なのです。
　

この回答へのお礼

＞y = (x-9)/(10-x) により一つの y がきまります。x=10 のとき、y は無限大。

１÷０は無限大なんですね。知りませんでした…。
文系な私にはいろいろ難しいところもありましたが、

＞0 から無限大の間のある実数が無限個数なら、9 と 10 の間にある実数も無限個数なのです。
これは分かりました。^o^
0 から無限大の間のある実数が有限個だったら、おかしいですもんね。

ありがとうございます。

お礼日時：2009/04/15 02:19

No.10 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/04/11 14:45

>３と６の間の数も 0 と無限の間の数と対応付けできたりして、すると、９と１０の間と、３と６の間の数は同個数ということになるのでしょうか。

>・・・そうかも。....

「9 と 10 の間の数」x と「0 と無限の間の数」y との一対一対応の例。
　　y = (x-9)/(10-x)　　　x∈[9, 10) で連続
　

この回答への補足

補足ですが
一応、今、なんとなく「集合」という意味だったような気がして、「しゅうごう」と打って変換させたらそのマークが出ましたが、
左側の式の意味と右側の式の意味、および両者の関連がわからないのでした…ごめんなさいい。

補足日時：2009/04/13 03:51

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご、ごめんなさい、私には「∈」の意味がわかりません。
左側の式も、なぜxから9を引いたり、10からそれを引いたりして、さらに割るのかというのがわかりません…ごめんなさあああい。

お礼日時：2009/04/13 03:51

No.9 回答者： Ichitsubo 回答日時： 2009/04/11 09:06

結局言葉の問題なだけのような気がしてなりません。

shironnさんがこだわっている「無限の個数(無限個の数)」の数がある、というところ、「無限の個数」というのはつまり「無数」という言葉で置き換えられますよね。
もしくは、9と10の間に「無限『に』数がある」と言い換えることもできるでしょう。しかし「無限『の』数がある」と言うと、先ほどからでている、個数のことを示すのか、数値の大きさのことなのか不明瞭な文になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞「無限の個数」というのはつまり「無数」という言葉で置き換えられますよね。
言葉の問題ではなく、概念として「無限」なのか「有限」なのかが知りたいです。

お礼日時：2009/04/13 03:08

No.8 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/10 23:12

無数？ 無限？ とんでもない！

９と１０の間には、１個の整数も存在しません。(笑

９と１０の間の有理数　または　９と１０の間の実数
を数えているのならば、有限個でないことは確実です。

「無数」と「無限」を区別するのならば、数学用語として
あまり普通ではない「無数」を、どう定義したか？ が問題
でしょうね。

No.1 のような意味で「無数」と言うのであれば、
９と１０の間に実数が「無数にある」では数学的に間違いで、
「無限にある」のほうが正解です。

９と１０の間にある実数なら、大きさは「無限」でない
…という議論は、文脈が破綻していると言うか、その解釈では、
もとの問題が日本語として成立しませんし。

やりようによっては、「無数」と「無限」を
「可算無限」と「非可算無限」や
「可能無限」と「実無限」に　対応させるような議論も
できないではありませんが、その手の話を
背景知識の不足した中高生相手にやらかすのは、無謀としか
言いようがありません。
まして、○だの　×だの　付けるのは、ちょっと…

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
整数ではなく「数」です。
中高生だったので、少数ぐらいを限度に考えていただければと。

＞有限個でないことは確実です
そうですか！
やはり９と１０の間には無限個の数がつまってるんですね？
前の方のお礼に書いたように、たまたまカウントしなかっただけで存在している数は、無限にあるように思うのです。

お礼日時：2009/04/11 07:11

No.7 回答者： plm2009qaz 回答日時： 2009/04/10 12:51

変な先生ですね　^ ^;

> 無数だけど有限で、無限ではないと。
「９と１０の間には(有限ではあるが)無数の数があるか？　無限の数があるか？」という設問でないと捻くれた生徒になるような気がします(笑)

有限と無限を問う問題なら、有限と無限という単語を出さない設問は単なる引っ掛け問題で受験用問題であって学問ではないと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ごめんなさい。すごく昔のことなので先生の問い方等には間違いがあります。
要点としては、９と１０の間にある数の個数を数えたら、それは有限なのか、無限なのか、ということです。

お礼日時：2009/04/11 07:06

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/10 12:18

極端にいえば「『無限』は数じゃないので『無限の数』はどこにも存在しない」ということはできるだろう.

ただねぇ.... 何人かが指摘してるけど, やっぱり問題としてよくない. 上に書いたように「無限」は数じゃないので, 「無限の数」という表現は曖昧なんです. つまり, 「『無限』を表す数」 (そんなもの存在しないけど) という解釈はできるけど, (これが存在しないという前提のもとに) 「無限個の数」という解釈もやっぱり可能です. 「5 の数」などという表現は普通しないので, こっちの解釈も有力です.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞『無限の数』はどこにも存在しない
いえ、「無限の数」ではなくて、数の個数が無限にあるかどうかです。

＞「無限個の数」という解釈もやっぱり可能です
可能なんですね。
やっぱり、９と１０の間にある数の個数を全部数えたら、永遠に数え終わらない「無限」な気がします。

お礼日時：2009/04/11 07:05

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/04/10 11:54

>９と１０の間には無数の数があるか？無限の数があるか？....

「無数の数」や「無限の数」(個数 = 実数の濃度？)とは何か、それぞれ定義があるのでしょうかね。
少なくとも、「無数」の定義は無さそうですけど。
9 と 10 の間の数(実数)は、たとえば 0 と無限の間の数と対応付けできるので、「無限」といえるんじゃないでしょうか。
　

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

おお！
無限だという説が出て、小躍りしています。
ですよね。無限に入ってますよねえ。

＞9 と 10 の間の数(実数)は、たとえば 0 と無限の間の数と対応付けできるので
そうなんですか。
９と１０の間の長さ（？）は絶対値として１ですが、０と無限の間の距離はもっと長そうな。
でも「対応付けできる」というのはなんとなくわかるような。

すると、３と６の間の数も 0 と無限の間の数と対応付けできたりして、すると、９と１０の間と、３と６の間の数は同個数ということになるのでしょうか。
・・・そうかも。私の考えではどちらにも無限個入っているのだから。


下にも書きましたが、たとえば私が「0.1ずつ区切って数えよう」とおもって、9.1、9.2、9.3…」と数えていったとき、私が勝手に9.15を飛ばしてるだけなんで、「9.15」はそこにあると思うんです。
そして9.15と9.16の間には、9.155があるし。
そうやって考えていると、どうしても無限の個数の数が入ってる気がするのです。

お礼日時：2009/04/11 07:03