p²+ｑ²＝1を満たす有限小数

過去の質問を読んでいて気になったのですが、以下の質問について。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13366457.html

ここで質問者が本当に知りたかった事は、p²+ｑ²＝1を満たす有限小数p、qの組は無限にあるかではなかったのかと思います。
p>q>0として、ｐ、ｑは単なる有理数ではなく、有限の桁数の小数、つまり有限小数の組み合わせは無限にあるのか、これについて興味がわきました。
有限小数の組み合わせも、無限にありそうな気はするのですが、その証明はどうなるでしょうか。

No.9 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/11 21:08

できた気がする。

５ = (2 + i) (2 - i) を使って、
5^y = (2 + i)^y (2 - i)^y.
ここで (2 + i)^y = m + ni と置くと、
任意の自然数 y に対して m, n は整数となり
(2 - i)^y = m - ni も成り立つ。
よって、 5^y = (m + ni) (m - ni) = m^2 + n^2.

この回答へのお礼

証明ありがとうございました。お見事です。
示された数式に基づいて、p、qの組を生成するプログラムを作ってみて、
ちゃんとp²+q²=1になる事も確かめました。

お礼日時：2023/03/12 21:20

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/11 21:57

#9 でほとんど終わりだが細かいことを指摘すると m と n が互いに素であることも示す必要がある. そこで代数方程式うんぬんとあ

さってな方向に走っていたのだが, 考えてみれば素因数分解の一意性で OK だ.

この回答へのお礼

元の質問では、有限小数の組をたくさん教えてほしいという内容も書かれていましたので、#9の回答を使って生成させました。その１部を示します。こんな感じです。
0.8、0.6
0.96、0.28
0.936、0.352
0.8432、 0.5376
0.99712、 0.07584
0.752192、 0.658944
0.9784704、 0.2063872
0.90660864、 0.42197248
0.881543168、 0.472103424
0.9884965888、 0.1512431616

お礼日時：2023/03/12 21:31

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/11 20:55

「sinθ=(m²-n²)/(m²+n²), cosθ=2mn/(m²+n²)となり、無限に存在する。

」
において, 「m, n の組が無限に存在しさえすればいいのか」ということを考えて表現しないといけないと思うのだよ. つまり, 例えば「m=2, n=1」と「m=200, n=100」は果して「別のもの」とみなしていいのかということだ. もちろん「m, n の組」としては別のものだけど, (m^2-n^2)/(m^2+n^2) と 2mn/(m^2+n^2) を考えれば (約分すると) 同じ分数を表すことになる.

で, いろいろやらなきゃならんのだけど,
5^y = m^2 + n^2
となる互いに素な m, n はどのような正整数 y に対しても確かに存在するはず. 今考えてる証明だと複素数が出てくるうえに整数係数代数方程式が有理数解を持つ条件も必要になる.

No.7 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/03/11 20:45

横から失礼します

No.6＞m²+n²の素因数が2,5だけなら良いのですよ。
No.6＞無限にあるでしょう。

無限あるなら、具体的に例えば(p,q)の組を４組だけでも、No.6さんが示して下されれば、お互いに納得されるのでは？

この回答へのお礼

#9の回答によって、無限に存在するは証明されましたが、
m²+n²の素因数が2,5だけなら良いといった単純な事ではありませんでした。

お礼日時：2023/03/12 21:24

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/11 20:13

>>いや、そこじゃないんですよ。

>>そういうｍ、ｎの組み合わせは、無限にあるのか、という意味です。

m²+n²の素因数が2,5だけなら良いのですよ。
無限にあるでしょう。

m,nが2の倍数ならm²+n²は2の倍数、m,nが5の倍数ならm²+n²は5の倍数。
こんなの無限に有りますよ。

この回答へのお礼

いや、駄目ですね。

m、ｎが共通の因数を持つ場合は、
(m²-n²)/(m²+n²)と2mn/(m²+n²)はその因数の２乗で約分されます。
結局、最初にｍ、ｎをその因数で割った値で作った有限小数と同じ組み合わせになります。
ｍ、ｎは互いに素、この条件が必要です。

お礼日時：2023/03/11 20:30

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/11 19:36

>>この「(m²+n²)の素因数が2または5のみで有れば良いので、無限に存在します」の根拠がよく分かりません。

元々の質問の回答は以下ですよ。
「sinθ=(m²-n²)/(m²+n²), cosθ=2mn/(m²+n²)となり、無限に存在する。」

右辺の分母が (m²+n²)ですよ。

有理数(分数)を小数で表現した場合、分母に(2または5)または(2,5の両方)の素因数のみを含むならば、循環小数にはなりませんよ。
必ず有限小数ですよ。

10の素因数が2,5だからです。

詳しくはご自分で。
小数に直す操作で、余りを10倍する事を繰り返すでしょ？
まだ、解らない？？

この回答へのお礼

いや、そこじゃないんですよ。
そういうｍ、ｎの組み合わせは、無限にあるのか、という意味です。

お礼日時：2023/03/11 19:46

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/11 18:21

m^2 + n^2 = (2^x)(5^y) の解が無限に在る証明できた？

x≧2 に解が無いことはすぐに言えるけれど、
y が大きくなっても解があることを示すのは、難しくない？

この回答へのお礼

下にも書きましたが、X=0の場合で十分と考えます。
5^ｙを、互いに素の平方数の和に分ける事ができるのかが、ポイントの様に思います。

お礼日時：2023/03/11 19:25

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/11 15:21

「任意の有理数を有限桁で表現する」ような方法は存在し, その方法のもとでは無限に存在することが自明.

N≧2 に対する N進法を採用するなら N の数値に依存して「無限に存在する」か「そもそも存在しない」かのいずれかだと思う. なお 1^2 + 2^2 = 5 だから, 5進法なら無限に存在するしその系として 10進法でも無限に存在する.

この回答へのお礼

どんな分数でも、N進法で表記すれば有限というのはその通りでしょうが、ここは10進法とお考え下さい。
「1^2 + 2^2 = 5 だから, 5進法なら無限に存在するしその系として 10進法でも無限に存在する」が分かりません。
X^2 + Y^2 = 5 を満たす有理数の組が無限にあるというのは分かるのですが、有限小数の組も無限にあるのでしょうか。

お礼日時：2023/03/11 19:19

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/03/11 13:58

有限小数は既約分数で表現した時、分母の素因数が2,5の場合に限定されます。

(2または5、以外の素因数を含まない）

なので、無限に存在します。

元の回答で、(m²+n²)の素因数が2または5のみで有れば良いので、無限に存在します。

因みに、既約分数と言うだけでは、有限小数とは言えません。
1/3,2/7,5/11・・・などは有限小数には成り得ませんからね。

この回答へのお礼

この「(m²+n²)の素因数が2または5のみで有れば良いので、無限に存在します」の根拠がよく分かりません。

それから、原始ピタゴラス数の式、(m²-n²)²　+　(2mn)² =　(m²+n²)²　の場合、m²+n²が偶数ならば、2mnが偶数なので、m²-n²も偶数になり、
3つの項が互いに素ではなくなります。
この場合は、m²+n²の因数は、5のみで良いと思います。

お礼日時：2023/03/11 19:15

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/11 13:46

Euclidの互除法を使って、pとqが互いに素である既約分数を生成する方法は、以下の通りです。

最初に、p=1, q=1 とします。
p²+q²=1 を満たす既約分数が得られるまで、以下の操作を繰り返します。
pとqを互いに素にします。
qとp-qを交換します。
この操作により、最初に得られる既約分数は、p/q=1/1=1です。次に、p=2, q=1 とすると、p²+q²=5となり、pとqは互いに素です。このとき、qとp-qを交換すると、p=1, q=2となり、これも既約分数です。このようにして、p²+q²=1 を満たす既約分数を無限に生成することができます。

したがって、pとqが整数であり、互いに素である場合、p²+q²=1 を満たす有理数は無限に存在します。

この回答へのお礼

#2さんも指摘されてますが、有理数ではなく、有限小数なので、少し違うと思います。

お礼日時：2023/03/11 19:08