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タイトルのごとく、反射律、対称律、推移律の質問です。
集合A上の二項関係を~とする。

このときこの二項関係が対称律、推移律を満たせば
x、y∈Aとして、
「x~yかつy~x⇒x~x」
が成立する
故に、二項関係が対称律と推移律を持てば、反射律をもつと考えました。

しかし、大学のレポートで、「対称律と推移律はもつが、反射律をもたない二項関係をあげよ」という問題がでできました。
上記の僕の証明は間違っているのでしょうか?
どなたか知っている方、教えてもらえますか?

A 回答 (4件)

No.2 は特殊すぎて面白くない?



では,整数全体において
m~n ⇔ mn>0

0~0 でないので反射律は成り立たない。

要するに,
∃y(a~y) ⇒ a~a
が,対称律,推移律からいえるので,
∃x∀y(x~y でない)
ような例を考えればよいのです。

No.2 は,∀x∀y(x~y でない) の例
上のは,∀y(0~y でない) の例です
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{a,b,c}という集合で、


Rab Rba Raa Rbb Rccという関係Rがあるとします。

Rab⇒Rba(対称律)
Rab∧Rba⇒Raa(推移律)
Rba∧Rab⇒Rbb(推移律)

RaaとRbbは対称律と推移律で成立します。
しかし
Rccは対称律と推移律からは成立しません。
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A=実数全体 の上の二項関係


x~y ⇔ x^2+y^2<0
が反例になっています。
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その証明では「x~y ⇒ x~x」までしか言っていません.


一般に「P ⇒ Q」が言えても, そこから Q は言えないでしょ?
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