内田伏一著 集合と位相 p34, 問8.4

すみませんが問8.4でp196の解答を見てもわからなくて困っています。この解答の図で、
(1)反射律と対称律を満足するもの　はXxXの３個の部分集合
A= {(x, y) ∈X x X |y=x+1 ,0≤x≤1}
B={(x,y)∈X x X| y=x,0≤x≤3}
C={(x,y)┤|y=x-1 ,1≤x≤2}
が描かれています。
この二項関係をp22の式にならって書けば
G(ρ)={(x,y)∈X x X│(x,y)∈Aまたは(x,y)∈B または(x,y)∈C}
となっていると思います。このうちAとCは反射律は満足しませんが、このように「または」を入れてあれば問題ないと考えて良いでしょうか？
(2)反射律と推移率を満足するもの　
なぜこのようなグラフになるのかが理解できません。すみませんが、どのようにして(2)のようなグラフになるのことが導けるのか、をお教えくださればありがたく思います。

質問者からの補足コメント

• すみません。投稿直後に誤記を見つけました。質問本文で
  C={(x,y)┤|y=x-1 ,1≤x≤2} は C={(x,y)∈X x X|y=x-1 ,1≤x≤2} に訂正させていただきます。

    補足日時：2022/12/17 20:26

• stomachmanさん、ありものがたりさん、matrajpさん　コメントありがとうございました。前提条件をまとめようとしましたが説明が下手でかえって混乱を招いてしまいすみませんでした。どなたかこの本をお持ちの方p32～p34を見ていただき、問3.4についてその解答がp196に載っています。なぜこのような解答が導けるのかがわからないのです。例えば問3.4(1)の解答はmatrajpさんが描いてくださった図と一致しますが、これは対称律は満足するがAとCは反射律は満足しません。両方を満足するグラフを描けという問題の主旨に反しています。問(2)(3)(4)はもっとわかりません。どなたか導出過程を示していただけないでしょうか？

    補足日時：2022/12/25 10:38

• X=[0,3]です。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/12/26 08:09

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/29 22:23

X=[0,3]={x|0≦x≦3}

A={(x,y)∈X x X|y=x+1,0≦x≦1}
B={(x,x)∈X x X|0≦x≦3}
C={(x,y)∈X x X|y=x-1,1≦x≦2}
G=A∪B∪C∪{(2,0),(0,2)}

(x,y)∈G
とする
(x,y)∈Aのときx=y-1,1≦y≦2だから(y,x)∈C⊂G
(x,y)∈Bのときx=yだから(y,x)=(x,x)∈B⊂G
(x,y)∈Cのときx=y+1,0≦y≦1だから(y,x)∈A⊂G
(x,y)=(2,0)のとき(y,x)=(0,2)∈G
(x,y)=(0,2)のとき(y,x)=(2,0)∈G
だから
Gは対称律を満たす

x∈X
とする
0≦x≦3だから(x,x)∈B⊂G
だから
Gは反射律を満たす

(x,y)∈G
(y,z)∈G
とする

(x,y)∈Aのとき
y=x+1
0≦x≦1
1≦y≦2
.(y,z)∈Aのとき(x,z)=(0,2)∈G
.(y,z)∈Bのときz=yだから(x,z)=(x,y)∈G
.(y,z)∈Cのときz=xだから(x,z)=(x,x)∈B⊂G
.(y,z)=(2,0)のとき(x,z)=(1,0)∈C⊂G

(x,y)∈Bのときx=yだから(x,z)=(y,z)∈G

(x,y)∈Cのとき
y=x-1
1≦x≦2
0≦y≦1
.(y,z)=(0,2)のとき(x,z)=(1,2)∈A⊂G
.(y,z)∈Aのときz=xだから(x,z)=(x,x)∈B⊂G
.(y,z)∈Bのときz=yだから(x,z)=(x,y)∈G
.(y,z)∈Cのとき(x,z)=(2,0)∈G

(x,y)=(2,0)のとき
.(y,z)=(0,z)=(0,2)のとき(x,z)=(2,2)∈B⊂G
.(y,z)=(0,z)∈Aのとき(x,z)=(2,1)∈C⊂G
.(y,z)=(0,z)∈Bのとき(x,z)=(2,0)∈G

(x,y)=(0,2)のとき
.(y,z)=(2,z)∈Bのとき(x,z)=(0,2)∈G
.(y,z)=(2,z)∈Cのとき(x,z)=(0,1)∈A⊂G
.(y,z)=(2,z)=(2,0)のとき(x,z)=(0,0)∈B⊂G

だから

Gは推移律を満たす

この回答へのお礼

matrajcpさん　詳しいご検討ありがとうございました。おかげさまでやっとこの問題の内容が見えてきました。

お礼日時：2023/01/02 22:50

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/25 21:15

X の条件は判ったのかなあ...

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/22 20:55

A={(x,y)∈X x X |y=x+1 ,0≦x≦1}

B={(x,y)∈X x X| y=x,0≦x≦3}
C={(x,y)∈X x X| y=x-1,1≦x≦2}
の
グラフは図の通り

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/20 13:50

この質問の最大の問題点は、出典の本から

質問内容が特定できるだけの引用がされていないこと。
回答者の多くはその本を持っていない
ということを考慮して質問することはできないのか？

前半は、関係 A∪B∪C が対称律を満たすことから、
どうやらその G(ρ) （ρって何や？）が
反射率と対称律を満たす関係の例なんだろうけど...
A∪B∪C が反射率を満たすためには
X にひとつ条件が必要なんだが、それが何か解る？
その条件は、たぶん出典には書いてあったんだろうが
質問文には書かれていない。

後半は、真に意味不明。「このグラフ」って何や？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/19 18:15

その本は知りませんがね、とりあえずイーカゲンな略記法を使うのをやめるだけで理解しやすくなると思いますよ。

たとえば：

　　A= {(x, y) ∈X x X |y=x+1 ,0≤x≤1}

とお書きのうち、"y=x+1 ,0≤x≤1"の部分の","とは何か。おそらく「y=x+1 かつ 0≤x≤1」ってことでしょうね。で、"0≤x≤1"というのは 「0≤xかつx≤1」を略記したものです。
　さらに、"(x, y) ∈X x X"の部分も(x, y)に対する制約条件を示していますから、本来、縦棒の左に書くべきではない。これも略記法にすぎません。","だの「かつ」じゃなくてマジメに論理演算記号”∧”を使い、略記なしに書けば
　　A= {(x, y) |x∈X ∧ y∈X ∧ y=x+1 ∧ 0≤x ∧ x≤1}
です。

　　G(ρ)={(x,y)∈X x X│(x,y)∈Aまたは(x,y)∈B または(x,y)∈C}

とお書きなのも、「または」じゃなくて記号"∨"を使い、さらに縦棒の左に条件を書く略記をやめれば、
　　G(ρ)={(x,y)│x∈X ∧ y∈X ∧ ((x,y)∈A ∨ (x,y)∈B ∨ (x,y)∈C) }
となる。

　一般に集合の表記
　　{ z | P(z) }
に出てくるP()の部分は述語です。述語P(z)とは「zに具体的に何かを代入するとP(z)が命題になって、真か偽かに決まる式」のこと。だから
　　s∈{ z | P(z) }
と
　　P(s)
は同じことを表しています。また、たとえば
　　{x|P(x)} ⊂ {x|Q(x)}
は
　　∀x(P(x) ⇒ Q(x))
と同じ意味です。

　…ということを理解なされば、述語P( ) を記述するのに","だの「または」だの使う方がオカシくて、キッチリ論理演算記号（∧ とか ∨ とか ⇒ とか ¬とか）を使うべきだよな、とご納得いただけるのではなかろうか。