0.999999・・・無限と1とはどうしてイコールなのか

0.999999・・・無限と1とはどうしてイコールなのか

少しの違いもないのか？

No.6 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/12/15 12:46

「0.999999・・・無限」なるものをどのように定義しているのでしょうか?

何ら断りなくそのように表現した場合は
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ....
という無限数列の極限として定義するのが普通で, その場合には 1 と等しくなります.

No.12 回答者： 魚介らーめん好き 回答日時： 2017/12/17 13:56

つまり質問文の意味することは

lim[n→∞](1-10^(-n))=1

が何故成り立つのか。
高校ではnを大きくしていくとカッコ内が限りなく1に近づくと言う意味でこの表記を許されます。

No.11 回答者： 風の脇三郎 回答日時： 2017/12/16 17:46

完全な物は無いので適当ーーー

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2017/12/15 19:44

先行する亀に追いつこうとするアキレス ( アキレスと亀です。

)
1/3=0.3333………
3倍すると
3/3=0.9999………
左は1と習っているのに、右は1ではないのに、同じだよね！

もっとおかしいのは、この方法を使った循環少数から分数にする方法を中学で習うが
この問題をきちんと説明しないで、教えている！おかしいよね？

だから、高校3の等比級数の和として、初項/(1ー公比) だよね！

No.9 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/12/15 18:39

参考

１０００＋∞、と１０＋∞、ではどちらが大きいか。
通常の数式で計算すれば
１０００＋∞ー１０＋∞＝９９０＋（∞ー∞）＝９９０、ゆえに１０００＋∞のほうが大きい。
でも∞を使ってしまうと１０００事態が∞の一部でもあります、１０もしかり、したがってどちらも∞で同じ？。
証明したかのように見えるだけで、証明の必要もないことなのかもしれません。
無限＝無と言う人もいます。
地球上では、地球の公転速度を感じて生活している人はいません。
同様に、無限の概念の中では座標の原点をどこにおいても、全く同じでなんの意味もありません

No.8 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/12/15 18:26

０．０００・・・・∞のかなたの１。

無限を乗り越えて観察可能な人、物でないと見つけることも見分けることもできないだけです。
普通に考えれば、無限、と言ってしまえば、その先は考えようがありませんね。
無限、や絶対、なんて言葉本来はあざやおろそかで使うべきではありません。

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2017/12/15 13:06

私も以前久しぶりに数学に手を出して、

０．９９９・・・は分数に直すといくつか？と思いつき調べてみたことがります。
高校時代の記憶を頼りに
0.9999･･･＝S・・・①　とおき　
両辺10倍
9.9999･･･＝10S・・・②
②-①から、
９＝９ｓ
ｓ＝１
で分数にならなずにぴったり１、やり方がおかしいかなと思ったくらいです。

証明としてはいくつかあるが、無限等比級数を使うものがあったように記憶しています。
初項 a１ ，公比 r の等比数列 an において， -1<r<1 のとき　
a1+a2+a3+・・・（無限）　＝a１/(1-r)
だから、0.999･･･は初項0.9 公比0.1の無限の等比数列の和とみれば
0.9999･･･=0.9 /(1-0.1)=1
このような感じだと思います。


0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999
と１は違うが
0.999999・・・無限と1とは少しの違いもない　等価　ということのようですね。
無限ということの深遠さをかんじさせられます！

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/12/15 11:01

差をとってみましょう。

1-0.999...=0.000...

小数点以下何桁いっても"0"以外の数字が表れません。これはもはや0以外の何物でもありません。
1と0.999...の差は0つまり同じ数字なのです。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/15 10:06

「無限」というのがポイントです。

No.3 回答者： Zincer 回答日時： 2017/12/15 09:37

「0.999999・・・無限」と「1」の間には、どんな小さな数字も入りきれません。

つまり、この間にすき間はないので、厳密に同じものです。