周回積分記号を用いた面積分

wikipediaの電束密度やガウスの法則のページを見ると、
ガウスの法則の面積分の部分を、周回積分記号∮（っていうので合ってますか？）
で書いてあります。
別のウェブサイトでは、ほとんどのケースで積分記号∫か二重積分記号∬
で書かれています。
wikipedia英語版のGauss' Lawページでは∬の真ん中を○でくくった記号。

積分の講義では、周回積分記号は線積分の、
始点と終点が同じケースと習ったように思います。
しばらくネット検索した範囲では、ガウスの法則以外で
面積分に周回積分記号を使うケースに出会えませんでした。

そこで質問です。
１．これらは同じ意味ですか？それとも何か違うものを表していますか？
２．同じならどれが正しい（より適切な）用法ですか？
３．この周回積分記号は電磁気以外でも面積分に使っていいですか？

よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• できれば、根拠付きでお返事いただきたいです

    補足日時：2017/06/26 22:06

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/06/28 00:55

線積分の周回積分は、（３次元空間に浮かんでいる円盤のような）２次元の単連結な領域の境界である円盤のヘリの線全体について積分することになっています。

ガウスの法則の面積分は、単連結な３次元の領域（例えば、球体など）の境界である表面全体について積分することになっています。

つまり、周回積分についている ○ は、（暗に線積分であることを意味している）「一周」ということではなくて、（何次元の領域かによらず）単連結な領域の境界全体について積分を表しています。
例えば、なんらかの４次元の単連結な領域があるときに、その境界の３次元多様体全体にわたる体積分も ○ をつけて表すべきでしょう。

この回答へのお礼

そう説明されるとわかってきました。ありがとうございます。

お礼日時：2017/06/28 23:10