勾配の向き 物理で勾配について勉強しているのですが、勾配の向きがなぜ最大傾斜方向になるのかわかりませ

勾配の向き



物理で勾配について勉強しているのですが、勾配の向きがなぜ最大傾斜方向になるのかわかりません。

grad f(x,y)=df/∂x↑i+df/∂y↑j

でなぜ、最大傾斜方向だと言えるのでしょうか？
方向って360°分あるのに・・・

わからないので教えてください

質問者からの補足コメント

• >>補足しておくと、　関数 f(x, y) の 微小変化は
  
  Δf(x, y) = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y) ≒ {∂f(x, y)/∂x}Δx + {∂f(x, y)/∂y}Δy
  
  これって全微分の定義ですよね？
  一変数関数の全微分で考えたとき、関数f(x)の微小変化はdf/dxなのに、
  
  全微分で考えると、関数f(x)の微小変化はdy/dx・dxの違いがわかりません。
  
  そもそも微分ってdxだけ動かしたときのdyの変化量なんじゃないのですか？
  
  なにか僕が勘違いしてるのでしょうが、わからないので教えてください

    補足日時：2017/07/09 13:20

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/09 14:13

本当は微分とは微小量のことで、dy/dx は微分商とか、微分係数とか

言うべきなんですが、微分=微分係数の意味で使われることが多いのですよ。
文脈に従って裏を読むしかないのが数学の現実です(^^;
全微分は微小量の方。

1次元では
df=(df/dx)dx
2次元では
dr=(dx, dy) として
df=grad f・dr

つまり、gradは微分係数の多次元への拡張です。

ベクトル解析やる前に、多変数関数の微分は一通り
やっといた方がよいですよ。

これとかおすすめ

https://www.amazon.co.jp/キーポイント多変数の微分積分-理工系数学のキーポイント-7-小形-正男/dp/4000078674/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1499577085&sr=1-1&keywords=多変数の微分積分

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/09 12:00

補足しておくと、　関数 f(x, y) の 微小変化は

Δf(x, y) = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y) ≒ {∂f(x, y)/∂x}Δx + {∂f(x, y)/∂y}Δy

という式に納得がいけば ANO1 の道筋で答えにたどり着けます。

直感的に自明ならよいのですが、わからなければ、多変数関数の微分を扱う教科書などで、
たいてい図で詳しく説明されていますので、それを見たほうがよいかと思います。

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2017/07/08 22:34

＞勾配の向きがなぜ最大傾斜方向になるのか

これは幾ら考えても無駄で、幾何学では「最大傾斜方向を勾配の向きと定義する」と定義されちゃって居るので動かし様が無い。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/08 22:16

grad f(x,y)=(a, b) ＝Fとすると、(c, d)=G方向の傾斜は

(ac + bd)/√(c^2+d^2) となるのはわかりますか？
もしわからなければ偏微分の定義にもう一度目を通してください。

方向を c^2+d^2 = 1＝｜G| という正規化された単位ベクトルで傾斜を表すと

ac + bd

になります。これを最大化する c, d を求めればよい。
これはベクトルの内積ですから、

ac + bd　＝F・G = |F||G|cosθ = |F|cosθ (θは F と G がなす角)
なので、θは 2Πn のとき最大。つまり傾斜は grad f の方向で最大になります。

内積を使うのが簡単な解法ですが f(c, d)=ac + bd, c^2+d^2=1 という
条件付き停留値問題として正攻法で解くのも難しくありません。