http://computation.cside.com/math/math003.html
上のサイトで連続の式の導出について勉強していたのですが
添付した写真の式変換について質問です。
この密度ρが次の式では偏微分∂の中に入っています。
これは密度も速さ同様、時間や場所に依存して変化するため
なんの断りもなく偏微分しているということなのでしょうか?
このρはそのまんま∂の中に入れず偏微分しない。というわけには行かないのでしょうか?
お手数ではありますが解答の方よろしくお願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
別に、偏微分の中に入れても、外に出しても、やっていること、結果ともに変わりません。
ここでは、質量密度ρは単なる定数ですから。この場合には、数学的には「速度(のx成分)をxで偏微分する」ということですが、物理的には「質量流量(のx成分)をxで偏微分する」という意味を明確にするために、質量密度ρを偏微分の中に入れているのだと思います。
これは、元々のこの式が「微小直方体に流入する質量流量と流出する質量流量の差:⊿M」を計算するための式であることからも、「質量流量(のx成分)をxで偏微分する」の方が物理的に整合が取れるからでしょう。
「数式」だけにとらわれずに、その式が意味する「物理的な状態の記述」を考えるようにしたらよいと思います。
No.4
- 回答日時:
リンク先の説明は、きちんと読んでいますか?
密度ρを偏微分しているのは、圧縮性流体、非圧縮性流体の場合は、ρは定数として、外に出しています。
圧縮性流体の場合は、密度が時間と場所によって変化する可能性があるので、偏微分しています。
No.2
- 回答日時:
もともとからすれば
入る流れ j(x)
出る流れ j(x+dx)
だからdtの間の物質量変化は
[ j(x) - j(x+dx) ] dt = -(∂j/∂x) dx dt
この流れにより幅dxの区間の密度変化がdρだったとすると,物質量変化は
dρ dx
この両者が等しいので
dρ = -(∂j/∂x) dt
から
∂ρ/∂t = - ∂j/∂x
流れの密度jはρvと書けるので
∂ρ/∂t = - ∂(ρv)/∂x
面倒なので1次元で書きましたが,3次元に拡張しても同じ。
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