今、弦の振動を有限要素法で解く勉強をしているのですが、
途中で運動エネルギーから質量マトリックスを導くところがあるのですが。。。
T=∫ρ・u(t)^T・L(x)・L(x)^T・u(t) dx
=u(t)^T・∫ρ・L・L^T dt・u(t)
=u(t)^T・[M]・u(t)
[M]=∫ρ・L・L^T dt
T;運動エネルギー
L(x);形状関数
u(t);変位ベクトル
○^T;○の転置行列
[M];質量マトリックス
という部分なのですが、式の変形自体はわかるのですが、
なぜ運動エネルギーから質量マトリックスが導出されるのか、
いまいちわかりません。
運動方程式から、仮想仕事の原理やハミルトンの原理を用いて、
表されるというのを聞いたのですが、これらと運動エネルギーの式を
どうつなげるのか。。。どなたか教えてください。
よろしくお願いします!!!
わかりにくい表現が多くてすみません・・・
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
T=∫ρ・u(t)^T・L(x)・L(x)^T・u(t) dx
=u(t)^T・∫ρ・L・L^T dt・u(t)
=u(t)^T・[M]・u(t)
を、ここでは、
T=∫ρ・|L^T・u|^2 dx
と略記します。まず、
T=1/2×∫ρ・|L^T・u|^2 dx (1)
だと思います。そこで、圧縮して言うと、
>運動方程式から、仮想仕事の原理やハミルトンの原理(いずれも最小作用の原理)を用いて、表される
ので、具体的に言えば最小化するために、tで微分して、=0とおけばいい訳です。ただし今欲しいのは、微分した形です。内積の微分公式を使って、(1)をtで微分すると、
T’=∫ρ・(L^T・u,L^T・u’) dx
=∫ρ・u^T・(L・L^T)・u’ dx
となるので、質量 Matrix は、[M]=L・L^T となります。ここで「’」は時間微分です。
少し読みにくいですが、参考文献として「有限要素法ハンドブック」をご紹介します。
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