オイラー・ラグランジュ微分

高橋康「量子場を学ぶための場の解析力学入門」増補第２版のp63の(2.21c)が全く分かりません。

f[x]をΦαの多項式として、

f[x] = g(Φγ) + hμα (Φγ)∂μΦα(x) + Σ(k=2,3,4) hμ1...μkα1...αk (Φγ) ∂μ1Φα1(x) ... ∂μkΦαk(x)

のような形を仮定します。ここで

hμ1...μkα1...αk

はμ1...μkについても、α1...αkについても反対称なものです。

その時、

∂f[x] / (∂Φα(x)) - ∂/(∂Φβ(x))(∂f[x]/∂∂μΦα(x))∂μΦβ(x) = 0

を満たすならば、

(∂hμ1...μkα1...αk-1α (Φγ))/(∂Φβ) + (∂hμ1...μkα1...αk-1β (Φγ))/(∂Φα) = 0
ただし(k >= 2)

これがp63(2.21c)式です。(2.21a)(2.21b)はなんとか導けたつもりですが、この(2.21c)は
まったく歯が立ちません。

本をお持ちで無いと何の議論か不明かもしれませんが、だめもとでお伺いします。
本を読み続ける上で、保留しても構わないようなことなのか、それともちゃんと
理解しなければならないのか、そのことだけでもいいので
よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2007/07/22 13:59

以下，参考程度に

>本を読み続ける上で、保留しても構わないようなことなのか、それともちゃんと理解しなければならないのか

私は旧版しか持っていませんが，書かれている内容は同じですのでそれに基づきますと，このところは後ででてくるLagrangian密度の関数の形の議論ですね。Lagrangian密度は後でいやというほどでてきますし，またNoetherの定理等のからみもあり，ここでは結局（2.26）という形になるということを知ればよいと思いますが。

>この(2.21c)はまったく歯が立ちません。

微分がややこしいですが，Φαと∂μΦαとは互いに独立変数であるとみなして(2.18)の左辺2項を微分計算し，恒等式(=0)であることを利用すれば(2.21a-c)がでてくると思います。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
一般相対論の入門書で多少鍛えた縮約の計算なのですが、
どうも上手くできなくなっているようですorz
縮約に注意しつつ、頭をリフレッシュして再度計算に
あたりたいと思います。

解けるまで悩むのも疲れてきましたので(^^;、勉強のほうは
先に進めようと思います。

お礼日時：2007/07/27 00:23