量子力学の期待値の問題です

波動関数φ(x)=C*exp(-x^2/2a^2)から不確定性関係を導く問題です。
運動量のp^2の期待値<p^2>の計算がわかりません


<p^2>=∫φ(x)'*p^2*φ(x) 　　　*φ'(x)は共役複素数

=|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx

=|c|^2*(-ih)*(4/a^4) ∫x^2* exp(-x^2/a^2) dx



ここで　|C|^2=1/a√π (規格化より求めた)
∫x^2* exp(-x^ｌ2/a^2) dx=(a^3*√π)/2
を代入して

<p^2>= -2ih　　　


以上のようになったのですが、間違っている気がしてなりません。
間違いがあったらご指摘お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/21 10:24

p=ih/(2π)d/dx

をそのまま入れてしまえばよいのです。

<p^2>=∫φ'(x)p^2φ(x)dx
=∫φ'(x){-h^2/(2π)^2}d^2/dx^2φ(x)dx

となります。
h^2となっていないこと(そうでないと次元が合わない)から間違いであることは明らか。
虚数単位iの2乗されるため-1になり残りません。

さらに質問者の式では微分演算d^2/dx^2が|φ(x)|^2にかかっています。
微分演算d^2/dx^2がかかるのはあくまでφ(x)だけですのでこれも間違い。このため係数も違います。
φ'(x)p^2φ(x)とp^2|φ(x)|^2は違うものなのです。φ'(x)p^2φ(x)=|pφ(x)|^2となります。pが(エルミート)演算子であることをお忘れなく。

この回答へのお礼

位置の期待値と同じように解釈してました。
pは運動量演算子ですから、勝手に交換してはいけないんでした。

数学の基礎がきっちりしてないと量子力学は難しいですね；

お礼日時：2011/12/22 13:14

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/21 11:57

#1です。

最後のところ修正。
>φ'(x)p^2φ(x)とp^2|φ(x)|^2は違うものなのです。φ'(x)p^2φ(x)=|pφ(x)|^2となります。pが(エルミート)演算子であることをお忘れなく。

後ろの式は積分したもので成り立つ関係です。積分する前から成り立つ式ではありません。
ブラ・ケットの記法を使うと
<φ|p^2|φ>=<φ|p(p|φ>)={(p|φ>)†}(p|φ>)
となります。(pがエルミート演算子であることを使用しています。)
これを置き換えると
∫φ'(x)p^2φ(x)dx=∫(pφ(x))'*(pφ(x))dx=∫|pφ(x)|^2dx
となるのです。

この回答への補足

ありがとうございます。エルミート演算子の扱い方の理解が足りなかったみたいです。

皆さんの回答を参考に計算しなおしてみたところ、

<p^2>=h^2/2a^2 (hはプランク定数を2πで割ったもの)

となったのですが、合っていますでしょうか。
お時間があればよろしくお願いします。

補足日時：2011/12/22 13:29

この回答へのお礼

#1で変なお礼を書いてすみません。

運動量演算子はエルミート演算子でした。

お礼日時：2011/12/22 13:51

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/21 10:26

>=|c|^2*(-ih) ∫(d^2/dx^2) exp(-x^2/a^2) dx

p^2なのとφ*は微分の後にかけることと、微分が間違っています

p^* = (-ihd/dx)^2 = -h^2 d^2/dx^2 (hはプランク定数/2π)

(d/dx) exp(-x^2/2a^2) = -2x/2a^2 exp(-x^2/2a^2) = -x/a^2 exp(-x^2/2a^2)

(d/dx)^2 exp(-x^2/2a^2) = (d/dx) [-x/a^2 exp(-x^2/2a^2)]
= [ -1/a^2 + x^2/a^4 ] exp(-x^2/2a^2)

この回答へのお礼

積の微分をがっつりミスってました。
お恥ずかしい限りです。

丁寧に書いてもらってありがとうございます。

お礼日時：2011/12/22 13:10