こんにちは。流体潤滑で、レイノルズ方程式(3次元)を導出させる課題を行っています。
摩擦面にすきまにx,y,z軸をとって、上の面がx方向にU_2、y方向にVで動き、下の面がx方向にU_1の速度で動くとする。その隙間にある油膜内の一点P(x,y,z)での、x、y、z方向の油の速度を(u,v,w)とすると、各方向に運動方程式が立てられる。
η(∂^ 2 /∂^2y)=∂P/∂x
η(∂^2v/∂^2y)=∂P/∂y=0
η(∂^2w/∂^2y)=∂P/∂z
【注】ここで、(∂^ 2 /∂^2y)は2回微分を示す。
この問題における境界条件
y=0 ⇒ u=U_1, v=w=0
y=h ⇒ u=U_2, v=V, w=0
を用いて2回積分を行うと、
u= {U_1+(U_1-U_2)×[h-y]/ h} +{-(y[h-y]/ 2η(∂P/∂x)}
v=V y / h
w={-(y[h-y]/ 2η(∂P/∂z)}
が得られ、この3式と連続の式より、次のレイノルズ基礎方程式が得られる。
∂/∂x(h^3×∂P/∂x)+∂/∂z(h^3×∂P/∂x)=
6η(U_1-U_2)(∂h/∂x)+6ηU(∂/∂x)(U_1+U_2)+12ηV
自分はこのレイノルズ基礎式を導出したいのですが、
(1)2回積分を行った時のuの式が違う
u= {U_1+(U_2-U_1)×y/h} +{-(y[h-y]/ 2η(∂P/∂x)}
となってしまう。
(2)連続の式の使い方
がうまく理解できずに導出することができません。
参考に出来る本や、サイト、他に解答例があったらアドバイスよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2)のヒントだけ。
・v=V y / hは使いません。
・連続の式は∂ρ/∂t + ∂/∂x(ρu) + ∂/∂y(ρv) + ∂/∂z(ρw) = 0
を使います。今回は式を見るに非圧縮性流体らしいのでρは全部消えます。
・単位幅当たりの流量qx、qyはu,vが出ているのですぐに出ます。u,wをy方向に0~hで積分してください。
・∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x(f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))を使って連続の式をqx,qyを使える形に変えてください。
あと答えがおかしい気がするのですが・・・
∂/∂x(h^3×∂P/∂x)+∂/∂y(h^3×∂P/∂y)=
6η(U_1+U_2)(∂h/∂x)+6ηh(∂/∂x)(U_1+U_2)+12ηV
なのではないですか?
この回答への補足
返答ありがとうございました!
早速、単位幅当たりの流量qx、qyを求めたところ、
qx=U_1+(U_1-U_2)×h/2+(【-{h^3×4η}+{h^3/6η}】(∂P/∂x))となり、
qy=(【{h^3×6η}+{h^3/4η}】(∂P/∂z))となりました。
>∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x(f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))を使って連続の式をqx,qyを使える形に変えてください。
とありますが、連続の式をどのように変形し、今まで求めた式に適応すればよいのか、いまいち掴めません。完全に私の数学能力不足だと思うのですが。出来れば、例を示していただけると助かります。
あと少しで答えが導出できそうなので、お手数おかけいたしますが、よろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
連続の式をyで積分してみると
∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x(f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))
を変形させた
∫(∂/∂x(f(x,z)))dz =∂/∂x(∫f(x,z)dz) -∂h/∂x(f(x,h))
が使える形になるはずです。
ここでqx=∫udy、qy=∫wdyが使える形が見えるはずです。
この回答への補足
savo_techさんが言うとおりに計算してみると、
実際に求めたかった式に近づきました!
もう少し自分で考えて見ます。
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
すいません
∂/∂x(h^3×∂P/∂x)+∂/∂z(h^3×∂P/∂z)=
6η(U_1+U_2)(∂h/∂x)+6ηh(∂/∂x)(U_1+U_2)+12ηV
この座標の取り方ですと上記のようになりますね、答え。
No.1
- 回答日時:
レイノルズ方程式というのは知りませんでした。
回答にはなりませんが、こういう考え方もあるのかなと、思ったサイトを紹介します。ただし、中身については、私には吟味できません。
http://www.oit.ac.jp/civil/~coast/nagare/note-7. …
http://www.cv.titech.ac.jp/~kandalab/jp/lecture/ …
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