「次式で与えられる1次元の波動関数ψ(x,t)が自由電子のシュレディンガー方程式を満たすことを確かめ

「次式で与えられる1次元の波動関数ψ(x,t)が自由電子のシュレディンガー方程式を満たすことを確かめましょう。ただし、hv=1/2m・(h/λ)とします。(v=振動数)

ψ(x,t)=Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}・・・(2.1.3)=A[cos (2πx/λ-2πvt)+i・sin (2πx/λ-2πvt)]・・・(2.1.4)」

という問題がありました。解答が画像のようになっていたのですが、なぜこの解答で確かめられたことになるのですか。式2.1.6が成り立つと式2.1.3が自由電子のシュレディンガー方程式を満たす理由が分かりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/08 13:12

自由電子のシュレディンガー方程式は V=0 なので

　iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∂²ψ/∂x²
となり、
　ψ(x,t)=Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}
を入れると、書いてあるように
　hν=(1/2m)(h/λ)²
が得られる。

これが成り立つことは
　E=hν=p²/2m, p=h/λ
から自明。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/03/19 20:57

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/03/08 12:44

解答画像が見えないため、一般的な解答方法を説明します。

自由電子のシュレディンガー方程式は次式で表されます。

iℏ∂ψ(x,t)/∂t = -ℏ^2/2m ∂^2ψ(x,t)/∂x^2

ここで、ψ(x,t)は波動関数、mは電子の質量、ℏはプランク定数を2πで割ったものです。

与えられた波動関数、式(2.1.3)を時間tで偏微分し、空間xで二階偏微分すると、それぞれ次のようになります。

∂ψ(x,t)/∂t = -2πivAexp{i(2πx/λ-2πvt)}
∂^2ψ(x,t)/∂x^2 = -(2π/λ)^2Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}

これらをシュレディンガー方程式に代入すると、次のようになります。

iℏ(-2πivAexp{i(2πx/λ-2πvt)}) = -ℏ^2/2m (-(2π/λ)^2Aexp{i(2πx/λ-2πvt)})
2πvAexp{i(2πx/λ-2πvt)} = (ℏ/2πmλ^2)Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}(-2π^2)
v = ℏ/2πmλ

これは与えられた波動関数が自由電子のシュレディンガー方程式を満たすことを示しています。