「次式で与えられる1次元の波動関数ψ(x,t)が自由電子のシュレディンガー方程式を満たすことを確かめましょう。ただし、hv=1/2m・(h/λ)とします。(v=振動数)
ψ(x,t)=Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}・・・(2.1.3)=A[cos (2πx/λ-2πvt)+i・sin (2πx/λ-2πvt)]・・・(2.1.4)」
という問題がありました。解答が画像のようになっていたのですが、なぜこの解答で確かめられたことになるのですか。式2.1.6が成り立つと式2.1.3が自由電子のシュレディンガー方程式を満たす理由が分かりません。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
自由電子のシュレディンガー方程式は V=0 なので
iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∂²ψ/∂x²
となり、
ψ(x,t)=Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}
を入れると、書いてあるように
hν=(1/2m)(h/λ)²
が得られる。
これが成り立つことは
E=hν=p²/2m, p=h/λ
から自明。
No.1
- 回答日時:
解答画像が見えないため、一般的な解答方法を説明します。
自由電子のシュレディンガー方程式は次式で表されます。
iℏ∂ψ(x,t)/∂t = -ℏ^2/2m ∂^2ψ(x,t)/∂x^2
ここで、ψ(x,t)は波動関数、mは電子の質量、ℏはプランク定数を2πで割ったものです。
与えられた波動関数、式(2.1.3)を時間tで偏微分し、空間xで二階偏微分すると、それぞれ次のようになります。
∂ψ(x,t)/∂t = -2πivAexp{i(2πx/λ-2πvt)}
∂^2ψ(x,t)/∂x^2 = -(2π/λ)^2Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}
これらをシュレディンガー方程式に代入すると、次のようになります。
iℏ(-2πivAexp{i(2πx/λ-2πvt)}) = -ℏ^2/2m (-(2π/λ)^2Aexp{i(2πx/λ-2πvt)})
2πvAexp{i(2πx/λ-2πvt)} = (ℏ/2πmλ^2)Aexp{i(2πx/λ-2πvt)}(-2π^2)
v = ℏ/2πmλ
これは与えられた波動関数が自由電子のシュレディンガー方程式を満たすことを示しています。
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