A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
関数f, g の独立変数を s, t
独立変数に入力される関数を
u=x+ay, v=x-ay
などとすると判りやすいかもしれません。
合成関数の微分則から
例えば ∂f(u)/∂x = (df/ds)(∂u/∂x)
同様にして2次の偏微分は1次に偏微分の偏微分なので
(∂^2 f(u))/(∂x^2) = (d^2 f/ds^2)(∂u/∂x)(∂u/∂x) + (df/ds)(∂^2 u/∂x^2)
= (d^2 f/ds^2)(∂u/∂x)^2
#(∂^2 u/∂x^2) = 0 なので
gに関しても同様にしてもとめ、u, v に関する偏微分を具体的に求めれば
解にたどり着きます。
この回答への補足
みなさん種々の回答ありがとうございます。いただいた知識をもとに解をかきましたので、確認していただければと思います。
u=x+ay
v=x-ay とおく。
左辺(a^2を外して)
∂^2z/∂x^2
=∂/∂x (∂z/∂x)
=∂/∂x (∂z/∂f(∂f/∂x)+∂z/∂g (∂g/∂x))
=∂/∂x (∂f/∂x + ∂g/∂x)
=∂/∂x (∂u/∂x ∂f/∂u + ∂v/∂x ∂g/∂v) 「合成関数の微分法?」
=∂/∂x (∂f/∂u + ∂g/∂v)
∂f/∂u =f' , ∂g/∂v =g' と置き換えて
=∂/∂x (f'+g')
=∂f'/∂x + ∂g'/∂x
=∂u/∂x ∂f'/∂u + ∂v/∂x ∂g'/∂v
=∂f'/∂u+∂g'/∂v
f',g'を展開
=∂/∂u (∂f/∂u) + ∂/∂v (∂g/∂v)
=∂^2f/∂u^2 + ∂^2g/∂v^2
a^2をかけて
=a^2(∂^2f/∂u^2 + ∂^2g/∂v^2)
右辺も同じやり方をすると、一致します。
自分の知識ではこのやり方になりました。どこか異常はないでしょうか?
No.3
- 回答日時:
#2ですが、質問文を読み違えて、二階微分を出さないといけないのを見落としていました。
以下、#2で書いたuとvの定義を使います。
たとえば ∂^2f(u(x,y))/∂x^2 の項を計算するには、まず ∂f(u(x,y))/∂x を計算します。これは先ほど書いたように、 df(u)/du です。
これは実は、df(u)/du|_{u=u(x,y)} あるいは f'(u(x,y)) と書いた方が正確です。つまり、fの導関数にu(x,y)を代入したものです。df(u)/duと書いたままだと最初は混乱するので以下f'(u(x,y))と書きます。
いまは二階微分が欲しいのですから、これをxで偏微分した ∂f'(u(x,y))/∂x が分かればよいです。ところがこれは、∂f(u(x,y))/∂x でfをf'に置き換えただけですから、同様に計算できます。
つまり df'(u)/du ∂u(x,y)/∂x 、すなわち f''(u(x,y)) となります。
No.2
- 回答日時:
丁寧に書いてみるために、
u(x,y)=x+ay
v(x,y)=x-ay
と定義します。
z(x,y) = f(u(x,y)) + g(v(x,y)) です。
∂z(x,y)/∂x = ∂f(u(x,y))/∂x + ∂g(v(x,y))/∂x となります。
∂f(u(x,y))/∂x には、合成関数の微分法則が適用できます。
すなわち ∂f(u(x,y))/∂x = df(u)/du ∂u(x,y)/∂x です。
df(u)/du は今はf の具体形が分からないのでそのまま残しておきます。
∂u(x,y)/∂x はuの定義より1ですね。
こんな感じで全ての項を計算していけば出るはずです。
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