微分方程式について

この連立微分方程式の解き方がわかりません。どのようにして解けばいいのでしょうか。
　x''=Ax/r^2+y'B
　y''=Ay/r^2-x'B (A,Bは定数　x'',y''はそれぞれx,yの二階微分、x,yはそれぞれx,yの一階微分　r=(x^2+y^2)^1/2）
どなたかよろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/07/21 16:19

角運動量は次のようにすればよいのですね(汗)。

x''=Ax/r^2+y'B　　(1)
y''=Ay/r^2-x'B　　(2)

{(1)×y}-{(2)×x}を作る。

yx''-xy''=A(xy-xy)/r^2+y'yB+x'xB
=B(xx'+yy')　　(4)

ここで，
d/dt{x'y-y'x}=x''y+x'y'-y''x-y'x'=x''y-y''x
d/dt{(1/2)r^2}=d/dt{x^2+y^2}/2=x'x+y'y
を利用すると，(4)は
d/dt{x'y-y'x}=(B/2)[d(r^2)/dt]
と書ける。両辺を時間tで積分して
x'y-y'x=(B/2)*r^2+Const.

これで，もう一階積分できて，
角運動量の式が作れました。

この回答へのお礼

おぉ・・・　ありがとございました。やってみます！

お礼日時：2012/07/21 16:22

No.4 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/07/21 16:08

x''=Ax/r^2+y'B　　(1)

y''=Ay/r^2-x'B　　(2)

{(1)×x'}+{(2)×y'}を作る。

x'x''+y'y''=A(xx'+yy')/r^2+y'x'B-x'y'B
=A(xx'+yy')/r^2　　(3)

ここで，
d/dt{(x')^2+(y')^2}=2x'x''+2y'y''
d/dt{r^2}=d/dt{x^2+y^2}=2x'x+2y'y
を利用すると，(3)は
d/dt{(x')^2+(y')^2}=A[d(r^2)/dt]/r^2
と書ける。両辺を時間tで積分して
(x')^2+(y')^2=A*log(r^2)+Const.

これで，とりあえず一階積分できて，
運動エネルギーの式が作れました。

この先，角運動量を出すのかなと思いますが，
ごめんなさい，すぐは分かりません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/07/25 22:33

No.3 回答者： superkamecha 回答日時： 2012/07/21 13:10

こんにちは。

とりあえず分かるのは、1式目を２ｘ’倍、２式目を２ｙ’倍して、二つの式の和をとると、Ｂの項が消去されて、積分すると、（積分定数を省略）
ｘ’＾２＋ｙ’＾２＝Ａ・ｌｎ（ｒ＾２）
が得られますね。
速度の２乗なので、運動エネルギを示すパラメータでしょうか。

この回答へのお礼

おぉ・・・
なるほど、ありがとうございます。指針が立ちました。

お礼日時：2012/07/21 15:55

No.2 回答者： kendosanko 回答日時： 2012/07/21 01:37

そもそも意味がわからない

> x,yはそれぞれx,yの一階微分
> x'',y''はそれぞれx,yの二階微分

xをxで微分したら1
xをxで二階微分したら0

この回答へのお礼

すいません。書き忘れていました。x、yは時間tの関数です。微分は時間微分です。よろしくおねがいします。

お礼日時：2012/07/21 11:26

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/07/21 01:34

2式をもう一回微分して元の式を代入。

この回答へのお礼

ちょっとやってみます。ありがとうございました。

お礼日時：2012/07/21 15:56