球対称の星の密度と質量

星の質量をm、半径をr、密度をρとしたとき、星が成長するときの増加した質量dmは
dm=4πr^2ρdr-4πr^2ρvdt
というのがあったんですが、これの意味するところ、またどのようにしてこういう式が成り立ったのか、がよくわかりません。
説明に無いですがvはおそらく星の半径の成長速度で、tは時間、drは星が成長して増加した分の半径であることことくらいは分かるんですが、そもそもどこから4πr^2が出てきたのか…密度って体積を掛け算すると質量になるから、密度には体積をかけるのでは(?_?)なぜ4πr^2なのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/13 17:09

　補足、承りました。

　vは星からの流出による半径方向速度となってますね。密度ρは時間依存でしたか。

　いろいろ熟慮して、以下だけの回答とします。

　(1.1)の第1項は先の回答通り、第2項は未知のvを含む質量の減少を表しています。

　(1.1)をrで偏微分し（→1.2)、さらにtで微分する。
　(1.1)をtで偏微分し（→1.3)、さらにrで微分する。
　その両者の左辺は明らかに同じになります（偏微分の基本事項）。
　だから、両者の右辺を等しいとできて、(1.4)を得ることができる。
　それは流体力学での球対称と特別な場合（ポリトロープとかかな？）と同じになる。

　そういう話です。

　式の変形に関する偏微分については、この教科書を読むうえで必要であれば、大変申し訳ありませんが、質問者様自ら、偏微分についてお調べくださいますよう、お願いします。

　ここでの式変形が大事であれば自力で分からないと、その教科書の他の部分でも詰まるでしょうし、理解できなくなります。

　もし、このような式変形が他では出ないようであれば、「数学的にそうなる」と受け取って、(1.4)は公式的に与えられたと判断し、先に進むほうがいいです。

　教科書に出てくる定理・公式全てをいちいち証明していたら、先に進めないということですね。この部分だけからは確かには判断できませんが、単に流体力学との一致を示しただけという可能性があります。

　そうした式変形を敢えて省いた教科書の意図次第ですので、それを尊重することに致します。ご質問部分でお役に立てず、申し訳ありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。基本的に、流体力学は引き合いに出しているだけのようでした。予習していきましたが、先生は数学的はあまり突っ込んでいませんでした。御教授いただいた通り数学的な話はあまり重要では無かったようです。大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/16 16:19

No.1 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/12 19:16

>dm=4πr^2ρdr-4πr^2ρvdt

　内側の半径rで厚さdrの薄い球殻を考えます（星の増えた部分に相当する）。その体積Vは、球殻を外部球と内部球（空っぽ）に分ければ、その差になりますから、

　V＝(4/3)π(r＋dr)^3－(4/3)πr^3

です。dr≪1（充分小さいという意味）ですから、微小量dmについて1次までの近似公式：(1＋dm)^n＝1＋ndmを使うと、

　V≒(4/3)π(r＋3r^2dr)^3－(4/3)πr^3＝4πr^2dr


となります。表面積に厚さを掛けたとしたものと一致します。これに密度ρを掛ければ星の増加した質量になります。それが第1項の「4πr^2ρdr」でしょう。

　問題は、第2項「4πr^2ρvdt」のvです。星の半径の厚さの増加速度だとすると、「v＝dr/dt」ですから、

　4πr^2ρvdt＝4πr^2ρ(dr/dt)dt＝4πr^2ρdr

となります。すると、

　dm=4πr^2ρdr-4πr^2ρvdt＝dm=4πr^2ρdr-4πr^2ρdr＝0

と0になってしまいます。

　vについて、何かあるのでしょうけれど、お示しの式からだけでは私では判断できません。すみません。

　もし、お示しの式の前後で「vについて、これかな？」と思える記述があって、それを補足欄で教えていただけると、私でも何か分かることがあるかもしれません。

この回答への補足

In order to provide a convenient description of the mass distribution inside the star in particular of of its effect on the gravitational field, we define the function m(r,t) as the mass contained in a sphere of radius r at the time t.
Then m varies with respect to r and t according to

dm=4πr^2ρdr-4πr^2vdt (1.1)

The first term on the right is obviously the mass contained in the spherical shell of thickness dr,and it gives the variation of m(r,t) due to a variation of r at constant t,i.e.

∂m/∂r=4πr^2ρ (1.2)

Since it is preferable to describe the mass distribution in the star by m(r,t) (instead of ρ),(1.2) will be taken as the first of our basic equations in the Eulerian description.
The last term in (1.1) gives the (spherically symmetric) mass flow out of the sphere of (constant) radius r due to a radial velocity v in the outward direction in the time interval dt:

∂m/∂t=-4πr^2ρv　(1.3)

The partial derivatives in the last two equations indicate as usual that the other independent variable (r or t) is held constant.
Differentiating (1.2) with respect to t and (1.3) with respect to r and equating the two resulting expressions gives

∂ρ/∂t=-{1/r^2}{∂(ρr^2v)/∂r}　(1.4)

This is the well-known continuity equation of hydrodynamics,∂ρ/∂t=-▽・(ρv),for the special case of spherical symmetry.

写し間違えがあるかもしれませんが、こんな原文でした。専門用語含め英語自体はそれほど難しくないんですが、どうも式の部分が…。解析的な途中式が何もないのでちょっと数学が苦手な自分は苦労しています^^;

補足日時：2013/04/13 13:36