極座標の偏微分

二次元直交座標と極座標の関係が
x=rcosφ　y=rsinφ　で表されるとき、∂r/∂x　を求めたいのですが、

x=rcosφからr=x/cosφとしてrをxで偏微分すると1/cosφ=r/x となり、

r^2=x^2＋y^2からr=√x^2＋y^2 としてrをxで偏微分するとx/r となってしまうのですが、

どちらが正しいのですか？？？

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2013/06/09 21:10

#1のものです。

>yも、φを媒介変数として、xと独立ではないように思えるのですが・・・

ここで考えているのは直交座標で表されているものと極座標で表されているものの関係を考えています。
直交座標で使われる座標は(x,y)でありxとyが独立に存在します。
極座標で表す場合はrとφが独立な変数です。
(物理屋さんなら自由度といったほうが通りがよいでしょうか)

質問者のおっしゃられるようにyをφを媒介して、ととることもできますが、その場合は独立な変数は(x,φ)の組み合わせとなり、∂r/∂x=1/cosφとなります。
ただ、普通(x,φ)で座標を表すことはありません。というよりもこの二つで平面上のすべての点をあらわすことはできません。(y軸上の点を表現することができません。)ですので(x,φ)で座標で表すことはしません。
(y,r)の組で表現するのもしません。この情報だけで位置を一意的に決定することができないからです。

この回答へのお礼

なるほど、納得いたしました、
ありがとうございました！

お礼日時：2013/06/10 01:07

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/06/09 20:19

偏微分ですから，何を一定にして微分するかを考えてください。

熱力学で行われているように一定にする変数を明示すると

∂r/∂x = (∂r/∂x)y

で，一定にする変数はyです。一方，

＞r=x/cosφとしてrをxで偏微分すると1/cosφ=r/x となり、

この計算ではφが定数扱いですから

(∂r/∂x)φ = 1/cosφ

という微分をしていることになります。

rをx,yの関数と考えるとφもx,yの関数ですから

r(x,y)=x/cosφ(x,y)

これをy一定の条件でxで微分しないといけません。
この微分を実際に実行するとANo.1さんの下から2行目になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2013/06/10 01:06

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2013/06/09 19:47

この場合、後者になります。

偏微分する場合、xに対して独立に変化する変数を定数とみなします。

φはxと独立ではないため
r=x/cosφ
をxで偏微分すると
∂r/∂x=1/cosφ+xsinφ/(cosφ)^2*(∂φ/∂x)
となります。

この回答への補足

yも、φを媒介変数として、xと独立ではないように思えるのですが・・・

補足日時：2013/06/09 20:03