直線の傾き（回帰係数）から相関係数を計算できるのでしょうか？

このwebページを見ていてふと疑問に思ったので質問させて頂きました。
https://blog.apar.jp/data-analysis/5967/


回帰係数 ＝ 相関係数 ×（ 商品Bの標準偏差 ÷ 商品Aの標準偏差 ）

と書いてありますが、傾き（回帰係数）とXの標準偏差、Yの標準偏差がわかっていれば相関係数が分かるということでいいのでしょうか？

例えば、観測点がプロットしてある紙に人間の手で直線を引いたとき直線の傾きが分かっていて、さらにXとYの標準偏差もわかっていれば、その直線の相関係数が求められる・・というような想像をしたのですが、この考え方で合っていますか？

もしこれが間違っていた場合、例のように直線を引いてあとからその相関性や有効性（？）を調べる方法を教えて頂けないでしょうか？

複数の観測点から回帰直線を引いて相関係数を求める具体例はたくさん見掛けるのですが、その逆の例は見たことがなく、よくわからなかったので詳しい人にお話を伺いたいです。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/16 22:28

はい。

いずれも、添付図のように、共変量：Sxy＝Σ(xiーμx)(yiーμy) から計算されます。共変量は添付図の楕円の扁平度みたいな数値です。

Ｓは偏差平方和の意味で、ｎで割れば分散になります。

Sxx＝ｎ×（ｘの標準偏差の2乗）
Syy＝ｎ×（ｙの標準偏差の2乗）
が分かっていれば、回帰係数⇔単回帰係数は相互に変換が可能です。

相関係数は、縦軸と横軸を基準化していますので、傾きは常に45度かマイナス45度です。

それに対して、単回帰係数は、横軸だけ基準化していますので、共変量の大きさが傾きになって現れます。

この回答へのお礼

私の認識間違ってなかったんですね！よかったです。

共変量というものを初めて知りました。勉強になります！
今まで漠然と公式を見てましたけど、こうやって解説して頂けるとすごく納得できて助かります。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/09/16 23:09

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/09/16 22:50

ついでに・・・

なぜ、共変量（扁平度のような値）が違うと、傾きの違いになって現れるかをイメージで説明します。

左：著しく扁平なものを、横幅だけ１に縮尺すると、45度の線が立ち上がります。

右：あまり扁平でないものを、横幅を１に拡大すると、45度の線が寝てきます。

これによって、共変量が大きいもの＝相関が強いもの　は、回帰直線では大きな傾きになるのです。