統計量および正規分布と分散の加法性の演習問題です。

現在製造業の傍ら統計学を習い始めたばかりの初心者です。
下記問題について回答への導き方を教えていただきたいです。

以下問題文です。
部品1500個を箱に詰めて出荷するが、部品の個数を数えるのではなく重量を測定することで箱詰め数量を管理したい。どのようにすればよいか方法を検討せよ。

以下に条件を示す。
①部品、及び箱の重量
【部品一個の重さ】平均:25.6g 標準偏差:0.08g
【箱一個の重さ】平均:200g 標準偏差:10g

②出荷品質
混入率:0.03%以下
※混入率:1500個ではないものが出荷される割合

お手数おかけしますが宜しくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/29 20:10

回答します。

ちなみに、私は30歳を越えてから統計学を本格的に学び、35歳でQC検定1級に合格しました。
年齢を言い訳にしてほしくないです。

3σにするのに3乗とは…？
単純に加法定理で算出したσに3を掛けたらよいです。

あとは貴殿の理解で合っていると思います！

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/29 20:56

No.2へのコメントについて。

> 上記3.62倍はどうやって算出された数字でしょうか？

　正規分布表（標準正規分布の累積分布表）を使います。片側0.0015のところのZ値を調べるんです。RとかExcelとかでもいいですけどね。（正規分布表の使い方が分からないんでしたら、この問題に取り組むのはちょっと早いかも。しっかりステップを踏んで理解していかないといけません。）

> 上記で√計算をいれるのは部品が無相関であるためで正しいでしょうか？

なんかポイント外してますね。
違いに独立な確率変数 X[k] (k=1,2,...,N)のそれぞれが平均μ[k], 標準偏差σ[k]の分布に従うとき、それらの重みw[k]付きの総和
　　Y = Σ w[k]X[k] (k=1,2,...,N)
の平均は Σ w[k]μ[k]、分散はΣ(w[k]σ[k])^2 になる。
　ご質問の場合、同じ分布（平均μ、標準偏差σ）に従うN個の部品X[k]の総重量というのは
　　Y = Σ X[k] (ただしΣはk=1,2,...,Nの総和)
ということですから、Yは平均が
　　Σ μ = Nμ
分散が
　　Σ(σ^2) = N(σ^2)
の分布に従い、なので標準偏差は
　√ (N(σ^2)) = (√N)σ
です。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/29 12:51

No.2修正：

(1) まずはたくさんの箱を実測して、「箱一個の重さ」の分布を調べる必要がある。

はミスです。

(1) まずはたくさんの箱を実測して、「箱一個の重さ」の分布を調べる必要があると考えられるでしょう。ところが、

に訂正です。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/29 12:48

「混入率」というのは「この箱には1500個の部品が入っている」と宣言した時に、その宣言が間違っている確率、ということです。

　まずは理論を整理します。
　部品1個の重量がどんな分布に従っていようが、部品1500個の総重量の分布は正規分布で極めてよく近似できます。これは「個々の部品の重量の、平均からのズレ」同士が打ち消しあう効果のおかげです。その結果、部品1500個の総重量は、平均値が個数倍、標準偏差が(個数の平方根)倍の正規分布に従うものとして扱えます。
　正規分布表を利用すると、部品1500個の総重量が、(総重量の平均)+(総重量の標準偏差の3.62倍)を超える確率はおよそ0.0015、(総重量の平均)-(総重量の標準偏差の3.62倍)に満たない確率もおよそ0.0015なので、(総重量の平均)とのズレが(総重量の標準偏差の3.62倍)以下であれば「1500個ある」と宣言したのが間違っている確率は0.0003以下（すなわち0.03%以下）であることがわかります。
　一方、「箱一個の重さ」に関しては、この打ち消しあいがないですから、どんな分布に従っているかを無視することはできない。そして、「どんな分布に従っているか」を知るためには平均と標準偏差だけでは情報が足りない。

　つまり、単純に「部品を詰め終わった箱の重さを測れば中身の個数をチェックできる」というわけには行かないことが明らかです。

　そこで、

> どのようにすればよいか方法を検討

しますと、
(1) まずはたくさんの箱を実測して、「箱一個の重さ」の分布を調べる必要がある。たとえば、「ほどんどが200g±0.1gの範囲に入っているが、0.1%ぐらいは230gや170gの箱もある」という分布だったとしたら、箱ごと重さを測るだけで個数を管理することはできないでしょう。（また、箱は買ってきてるのだとしますと、箱の製造メーカが箱の重量の管理なんてやってるかどうか分からないわけで、次のロットでは平均も標準偏差もすっかり変わってしまうかもしれない。そういうリスクもあります。）
　そこで、「箱詰めする前に個々の箱の重さを測って、箱詰め後の重さから差し引く」ということにすべきです。こうすれば、箱がどんな重さだろうが、中身だけの重さがわかるからです。
　しかし、その際の「箱の重さの測定誤差」が20gもあったのでは、部品の個数の違いが正しく判定できないでしょう。だから、「箱の重さの測定誤差」はいくら以下に抑えれば良いか、を検討する必要があります。

(2) 平均:25.6g 標準偏差:0.08gの部品1500個の総重量は、平均(1500×25.6) ≒ 38.4kg、((√1500)×0.08) ≒ 3.10gの正規分布に従うと考えられる。（箱の重さの誤差は0だとすると）0.03%の混入率であるためには、総重量の平均値からのズレが3.10×3.62≒11.2gの範囲に入っているかどうかで判定すれば良いわけですが…
　部品の個数が1個間違っていると総重量がおよそ26g違ってくる。でも、「1500個の総重量の平均値38.4kg」の精度は100g単位でしかありません。誤差の幅が大きすぎて、これじゃ部品1個の違いはとても検出できない。つまり、「平均:25.6g」ではまるで精度が足りない。もっと高い精度（小さい誤差）で測定して平均値を調べ直す必要があります。つまり「部品1500個の総重量の平均値」が持つ誤差を幾ら以下に抑えれば良いか、を検討する必要があります。

(3) 部品が1501個の場合には、総重量が平均値より約25.6g多いかというと、そうはならない。1500個の重量が(平均値-11.2)gになることもあるのだから、1501個の重量の分布は(平均値+25.6-11.2)〜(平均値+25.6+11.2) gの範囲に入る。「1500個の総重量がたまたま(平均値+11.2)g」という場合と、「1501個の総重量がたまたま(平均値+25.6-11.2)g」という場合の総重量の違いはわずか3.2gしかありません。つまり、箱の重さの測定精度がこれより悪ければ、混入率が高くなってしまうおそれがあります。

　というわけで、
●箱の重さの測定誤差（平均0の正規分布になると考えて良い）の標準偏差、
●部品1個の重量の測定誤差（平均0の正規分布になると考えて良い。これが部品1500個の総重量の平均値の値が持つ誤差を決めます）の標準偏差
をそれぞれ幾ら以下にすれば良いか、という検討をしなくちゃいけないわけです。まだ先は長いなあ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。お時間いただき本当に助かります。

誠に申し訳ありませんが、下記についてもご教示いただかないでしょうか？

(総重量の標準偏差の3.62倍)
上記3.62倍はどうやって算出された数字でしょうか？

((√1500)×0.08)
上記で√計算をいれるのは部品が無相関であるためで正しいでしょうか？

大変申し訳ありませんが、上記ご教示いただければ幸いです。

お礼日時：2023/07/29 20:08

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/29 11:22

部品1500個を入れた箱の質量に関する正規分布を求めたら良いのですよね。

平均値は解説せずとも計算できるでしょうし、標準偏差は２乗して分散とし、加法定理で部品1500個入れた分散を求めて標準偏差に換算する。
あとは、出てきた正規分布を正規化して、0.03%のボーダーを見いだすといいと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ご教示いただき非常に助かります。
分散から求めた標準偏差は3σにしたい場合は、単純に3乗で問題ありませんでしょうか？
1500個の平均値と標準偏差から求めた正規分布ですが、Standarizationをして1500個を上回るまたは下回る確率を0.03%のボーダーから見出すという理解でよろしいでしょうか？
質問ばかりで大変申し訳ありません。
年齢を重ねてからの入門はかなりハードルが高いですが、色々理解しておきたいと考えています。

お礼日時：2023/07/29 19:58