統計学についての質問です。 2標本問題で A: サイズ32 平均62.2 標準偏差11.0 B: サ

統計学についての質問です。

2標本問題で
A: サイズ32 平均62.2 標準偏差11.0
B: サイズ35 平均71.4 標準偏差10.8
で母平均の差の区間推定をしたいのですが、

なぜ√(1/32+1/35)が出てくるのかわかりません。

t分布の利用の
(n-1)/√nが上記の部分に該当すると思いますが。。。

教えていただけると嬉しいです

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/08 17:10

2群のサンプルは同じ母集団から抽出したと仮定して、ということろでの話ですよね？

母分散が σ^2 のとき、そこから n 個のサンプルを採ってきたときの「サンプル平均」の分散は「σ^2 /n」になります。
同様に、母分散が σ^2 のとき、そこから ｍ 個のサンプルを採ってきたときの「サンプル平均」の分散は「σ^2 /ｍ」になります。

「分散の加法性」から、同じ母分散 σ^2 の母集団から「n + m 個」のサンプルを採ってきたときの「サンプル平均」の分散は「σ^2 /n + σ^2 /m」になります。
共通の σ^2 でくくれば
　σ^2 (1/n + 1/m)
ということになります。

これを「標準偏差」にするために平方根をとれば
　σ√(1/n + 1/m)

＞t分布の利用の
＞(n-1)/√nが上記の部分に該当すると思いますが。。。

具体的にどんな場面でそれが使われるのか分かりませんが、√[(n - 1)/n] ではないでしょうか。
不偏分散は、サンプルの偏差平方和を (n - 1) で割りますから、「標準偏差」相当にするときには「平方根」が付くと思います。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/08 15:05

正規分布N(μ₁, σ²)に従う母集団からランダムに取った標本n₁個が標本平均m₁、標本分散s₁であり、N(μ₂, σ²)に従う母集団からランダムに取った標本n₂個が標本平均m₂、標本分散s₁、というときに

　　x² = (((m₁ - μ₁) - (m₂ - μ₂))²)/((1/n₁ + 1/n₂)σ²)
が自由度1のχ²分布に従い、
　　y₁² = n₁s₁²/σ²
が自由度(n₁-1)のχ²分布に従い、
　　y₂² = n₂s₂²/σ²
が自由度(n₂-1)のχ²分布に従う。
ということを使って、t分布なりF分布なりに持ち込むんです。このx²のところにご質問のヤツが入っているわけで。