x^2+y^2はどのような分布をする?

xが平均mx、標準偏差sx、yが平均my、標準偏差syの正規分布をするとき、x^2+y^2はどのような分布をするでしょうか？√(x^2+y^2)の分布のほうが簡単だったらそちらでも構いません。

No.7 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/04/01 01:47

No.5です。

すみません。訂正します。うっかりしていました。

カイ２乗分布に従うのは、「平均が０」の標準正規分布に従う複数変量の２乗和です。

今、データ空間の重心は、原点から離れたところに存在していますから、非心化しています。

変量をその標準偏差で基準化したものの２乗和は、「非心カイ２乗分布」という分布に従います↓。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%BF%83 …

さらに、σで基準化しない場合は、２重非心カイ２乗分布に従います。

No.6 回答者： qas2021 回答日時： 2024/04/01 01:39

No.3です。

度々すみません、訂正です。
「自由度2のカイ二乗分布、カイ分布に従います」は、mx =
my = 0 のときです。そうでないときは、非心分布となります。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/04/01 01:21

一般に、独立に正規分布に従う複数変量の２乗和の分布はカイ２乗分布に従いますが、２変量の場合は「指数分布」です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4 …

↑ここにも書いてあります。

No.4 回答者： qas2021 回答日時： 2024/03/31 09:12

No.3 です。

> sx = sy = σ
> でしょうか？

すみません、誤入力していましたね。
その通りです。

No.3 回答者： qas2021 回答日時： 2024/03/31 06:52

x と y が独立で sx = xy = σ の場合、(x^2 + y^2)/σ^2、√{(x^2 + y^2)/σ^2} はそれぞれ自由度2のカイ二乗分布、カイ分布に従いますが、一般の場合、確率密度関数は簡単なものにはなりそうにありませんね。

一応、分散や標準偏差を求めることは難しくはありません。

期待値は他の方も記載されているとおり、

(mx)^2 + (my)^2 + (sx)^2 + (sy)^2

となります。

x^4 の期待値は

E[x^4] = E[(x - mx)^4 + 4(x - mx)^3・mx + 6(x - mx)^2・(mx)^2 + 3(x - mx)・(mx)^3 + (mx)^4]
= E[(x - mx)^4] + 4E[(x - mx)^3]・mx + 6E[(x - mx)^2]・(mx)^2 + 3E[x - mx]・(mx)^3 + (mx)^4
= 3(sx)^4 + 4・0・mx + 6(sx)^2・(mx)^2 + 3・0・(mx)^3 + (mx)^4
= 3(sx)^4 + 6(sx)^2・(mx)^2 + (mx)^4

y^4 の期待値も x^4 と同様に求めることができて

E[y^4] = 3(sy)^4 + 6(sy)^2・(my)^2 + (my)^4

となります。

よって、x と y が独立であるとき x^2 + y^2 の分散は

V[x^2 + y^2] = E[(x^2 + y^2)^2] - E[x^2 + y^2]^2
= E[x^4] + 2E[x^2・y^2] + E[y^4] - E[x^2 + y^2]^2
= E[x^4] + 2E[x^2]・E[y^2] + E[y^4] - E[x^2 + y^2]^2
= 3(sx)^4 + 6(sx)^2・(mx)^2 + (mx)^4 + 2((mx)^2 + (sx)^2)((my)^2 + (sy)^2) + 3(sy)^4 + 6(sy)^2・(my)^2 + (my)^4
- ((mx)^2 + (my)^2 + (sx)^2 + (sy)^2)^2
= 3(sx)^4 + 6(sx)^2・(mx)^2 + (mx)^4 + 2(mx)^2・(my)^2 + 2(mx)^2・(sy)^2 + 2(sx)^2・(my)^2 + 2(sx)^2・(sy)^2 + 3(sy)^4 + 6(sy)^2・(my)^2 + (my)^4 - (mx)^4 - (my)^4 - (sx)^4 - (sy)^4 - 2(mx)^2・(my)^2 - 2(mx)^2・(sx)^2 - 2(mx)^2・(sy)^2 - 2(my)^2・(sx)^2 - 2(my)^2・(sy)^2 - 2(sx)^2・(sy)^2
= 2(sx)^4 + 4(sx)^2・(mx)^2 + 2(sy)^4 + 4(sy)^2・(my)^2

標準偏差は

√V[x^2 + y^2] = √{2(sx)^4 + 4(sx)^2・(mx)^2 + 2(sy)^4 + 4(sy)^2・(my)^2}

となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>sx = xy = σ

は
sx = sy = σ
でしょうか？

お礼日時：2024/03/31 08:18

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/30 13:44

ほい↓

https://shoichimidorikawa.github.io/Lec/ProbDist …
これ使って、密度関数が計算できるよ。
頑張って。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/30 10:42

まずは x^2、y^2 の分布を調べる必要があります。

(1) 平均
x に関しては、有名な公式
　(sx)^2 = E[x^2] - {E[x]}^2
を使って
　E[x^2] = (sx)^2 + (mx)^2

同様に
　E[y^2] = (sy)^2 + (my)^2

従って
　E[x^2 + y^2]
= E[x^2] + E[y^2]
= (mx)^2 + (my)^2 + (sx)^2 + (sy)^2

(2) 分散、標準偏差
簡単には求められないと思います。