確率統計の問題です。

あるベアリング寿命は平均1800時間、標準偏差100時間で正規分布に従っているという。
新技術で製造したベアリング25個を無作為に取り出し寿命測定したところ、その平均が1832時間であった。新技術により寿命はこれまでの製法より長くなったと言えるか。標準偏差に変化がないものとして、有意水準5%で検定せよ。

質問者からの補足コメント

• yhr2　さま
  
  本当に詳細な説明ありがとうございます。
  
  すいません、こちらのテキストには有意水準5％が1.96、つまり95％で計算されてるようにも見えるのですがどうでしょうか？私は理解ができていないだけだとは思いますが（泣）
  
  以上、よろしくお願いします。

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/27 16:53

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/27 10:56

No.1&2 です。

時間ができたので、きちんと書いておきます。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

やることは
・平均、標準偏差とも従来と変わらないと仮定した場合に、無作為に取り出した25個の平均 1832 は
　　平均値 + 1.64σ
　の値を越えるかどうかを調べる
ということです。

越えていなければ「出現確率95％の範囲にある、統計的なバラツキの範囲で起こり得る」、越えれば「出現確率 5%の極めて珍しいことが起こった、統計的なバラツキの範囲では起こり得ない」と判定するということです。

ここで、σ は母集団の標準偏差 e = 100 h ではなくて、「25個のサンプルをたくさん採ってきたときの、その平均値のバラツキの標準偏差」です。
これは、「25 個の「バラツキ」（＝分散）の平均なので
　σ^2 = e^2 /25 = 10000/25 = 400
→　σ = 20

（注）温度計の読取りなどで、「読取り誤差」を小さくするために「10回読み取って、その平均をとる」ようなことをしますね。測定数を多くしてその平均をとると、誤差やバラツキを小さくできるのです。n 回測定して平均をとると、分散を 1/n に、標準偏差を 1/√n にできます。


従って「平均値 + 1.64σ」は
　1800 + 1.64 × 20 = 1800 + 32.8　　　　①

「1832」はこの範囲を超えないので、「統計的なバラツキで起こり得る＝有意ではない」ということになります。

従って、「寿命はこれまでの製法より長くなったとはいえない」と判断できます。


（注）上の検定は「寿命が長くなったといえるかどうか」を調べているので、「長くなったとはいえない」というのが結論です。
「従来と同じである」ということではありません。

①の「判定値 1832.8」に対して「1832」ですから、「有意水準」つまり「判定基準」を変えれば結論も変わります（例えば「有意水準 10%」だったら「寿命は長くなった」との判定になります）。
また、製法を変えたことで 1832 になったので、「従来と変わらない、従来と同じである」とも判定できません。「従来と同じ」というためには、「同じ」と判定するための条件を設定しなければなりません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
理解するのに少し時間がかかりましたが、
だいたいは理解できました。
まだまだ勉強が必要です。

補足コメントを見ていただけるたすかります。
有意水準5％の例題があったのでそのデータをアップしています。
それだと1.96を利用してるように見えます。
多分、私の理解不足だと思いますが・・・。

お礼日時：2022/07/27 17:31

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/27 18:04

No.1&2&3 です。

「補足」について。

検定する場合に、「両側検定」か「片側検定」かの2とおりがあります。

お示しのものでは、(1)(2)(3) は「直径が大きいもの、小さいもの」の両方を見る必要があるので
　平均 ± 1.96σ
の中に「95%」が入る、そこから外れる５％（小さすぎ 2.5%、大きすぎ 2.5%）かどうかを確認することになります。
つまり「両側を合わせた」の５％に入るかどうかを調べています。これが「両側検定」。

これに対して、(4) では「12 mm より大きいといえるか」つまり「大きい」方の5%だけを確認することになります。
これは
　平均 + 1.64σ
以上になる（片側だけ）5%かどうかを確認することになります。これが「片側検定」です。
これを、小さい方の 5% も入れて
　平均 ± 1.64σ
から外れるもの（両側）とすれば 10% ということになります。

ぼやけてよく見えませんが、画像の「答」の3行目に
「(1)～(3) では両側検定、(4) では右側検定を行う」
と書いてありませんか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

写真が解像度が悪くてすいません、アップロード前は十分なデータサイズなのですが、なぜかクリックしても画像が拡大せず見ずらいですね。

「(1)～(3) では両側検定、(4) では右側検定を行う」
仰るとおり、そう書いています。

両側検定は片側検定が分かりづらかったですが、これで納得しました。
本当にありがとうございます。私の問題は片側県手だったのですね。
「長くなったのかと言えるか」と「有意水準5％」の言葉で片側検定と
いう意味なのですね。

もっと勉強して確率統計の理解を深めたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2022/07/27 19:17

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/27 08:44

No.1 です。

あらら、なんか間違えてますね。

＞従って「平均値 + 1.64σ」は
＞　1800 + 1.64 × 20 = 1800 ± 32.8
＞
＞「1832」はこの範囲を超えるので、「統計的なバラツキで起こり得ない、何かそうなる理由・意味がある＝有意である」ということになります。

範囲を越えてはいませんね。

従って、結論は
「統計的なバラツキで起こり得る＝有意ではない」
ということで、
「寿命はこれまでの製法より長くなったとはいえない」
ということになります。


寝ぼけてました。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/27 00:53

う～ん、もう一つの質問と合わせて、基本のキの部分を理解していないようですね。

「正規分布」は、あらゆる分布の「基本」なので、これを理解していないとこの先何をやっても「？？？」になってしまいます。
悪いことは言いませんから、「正規分布」だけはしっかり勉強してマスターしてください。
必要なら、下記のような分かりやすい本を読んでみてください。
↓
完全独習　統計学入門
https://www.amazon.co.jp/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%8 …


問題の場合には、平均が 1800 h、標準偏差 100 h の正規分布です。
正規分布とは、、標準偏差を「σ」として、
　　平均値 ± σ　の範囲に、全体の 68.3% が入る
　　平均値 ±2σ　の範囲に、全体の 95.4% が入る
　　平均値 ±3σ　の範囲に、全体の 99.7% が入る
という特性があります。
↓
https://atarimae.biz/archives/9850

これを「全体の○○％」の方を基準にすると
　　平均値 ± 1.64σ　の範囲に、全体の 90.0% が入る
　　平均値 ± 1.96σ　の範囲に、全体の 95.0% が入る
　　平均値 ± 2.58σ　の範囲に、全体の 99.0% が入る
ということになります。

つまり「これまでより長くなる」「有意水準 5%で」ということは、
・大きい方の「片側」が5％の範囲、つまり「両側だと10％」なので、平均値 + 1.64σ 以下であれば「統計的なバラツキで起こり得る」とみなす
・残りの「片側 5％」の範囲、つまり平均値 + 1.64σ 以上であれば「統計的なバラツキで起こり得ない、何かそうなる理由・意味がある＝有意である」とみなす（この場合には、その「理由」は「製法を変えた」こと）
ということです。

従って、やることは
・無作為に取り出した25個の平均 1832 は
　　平均値 + 1.64σ
　の範囲内かどうかを調べる
ということです。

ここで、σ は母集団の標準偏差 e = 100 h ではなくて、「25個のサンプルをたくさん採ってきたときの、その平均値のバラツキの標準偏差」です。
これは、分散の平均なので
　σ^2 = e^2 /25 = 10000/25 = 400
→　σ = 20

従って「平均値 + 1.64σ」は
　1800 + 1.64 × 20 = 1800 ± 32.8

「1832」はこの範囲を超えるので、「統計的なバラツキで起こり得ない、何かそうなる理由・意味がある＝有意である」ということになります。

従って、「寿命はこれまでの製法より長くなった」と判断できます。

この回答へのお礼

お返事遅くなりました。
ありがとうございます。
すいません、いま勉強中です。
もう少し返信にお時間をくださいませ。

お礼日時：2022/07/27 12:59