Thomas-Reiche-Kuhnの総和則の証明

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質問者：hi-ron
質問日時：2006/05/08 03:57
回答数：3件

この前も質問したんですが、説明が悪く・・・

何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問

になってしまいました。

証明している内に分からなくなり、証明を逆算していくとどうやら

－Σ(Em－En){｜<ｍ｜exp(-ikx)｜ｎ>｜＾2
　　　　　　　　　　＋｜<ｍ｜exp(ikx)｜ｎ>｜＾2}　　　　

が

－2ｋ＾2Σ(Em－En）｜<ｍ｜x｜ｎ>｜＾2　
　
と変形できれば証明が終わるのですが・・・

変形できるのかがわかりません。

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回答 (3件)

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No.3

回答者： atomicmolecule
回答日時：2006/05/08 21:22

その式から直接欲しい総和則が出てくるわけではないと思います。

それはもっと一般的な総和則を導くための生成関数でしょうね。

exp(ikx)=A(k)とおきます。

（１）...... [[H,A(k)],A(-k)]=-(hk)^2/m

が求まったわけですよね。さらに両辺を<n| |n>でサンドウィッチしてやって

(2)・・・・・・　　<n|[[H,A(k)],A(-k)]|n>
　　　　　　　　=2Σ_l (E_n - E_l) |<l|A(k)|n>|^2

が出ました。(1)と（２）より

(3)...... 2Σ_k (E_n - E_l) |<l|A(k)|n>|^2
= -(hk)^2/m

ですが、この式は欲しい総和則以上の情報も含む、もっと一般的なものです。数学では良く母関数とか生成関数とかいいます。何故なら、両辺をｋで微分すれば総和即の系列が得られるからです。いろんな総和側を生み出す元になる関係式だから母関数。

ためしに（３）をｋで二回微分してｋ＝０とおくと

2Σ_l (E_n - E_l) (d/dk)^2 |<l|A(k)|n>|^2
= 2Σ_l (E_n - E_l) (d/dk)^2 <l|A(k)|n><n|A(-k)|l>

= 2Σ_l (E_n - E_l) {<l|A''(k)|n><n|A(-k)|l>
+ 2<l|A'(k)|n><n|A'(k)|l>
+ <l|A(k)|n><n|A''(-k)|l> }

= 2Σ_k (E_n - E_l) {<l|-x^2|n><n|l>
+ 2<l|ix|n><n|-ix|l>
+ <l|n><n|-x^2|l> }

ですが、一つのAを二回微分した項は<l|n>=δ(l,n)と
(E_n-E_l)のためにゼロになりますから

＝2Σ_k (E_n - E_l)2<l|ix|n><n|-ix|l>

＝４Σ_k (E_n - E_l)|<l|x|n>|^2

右辺の(hk)^2/mのｋの二回微分は2h^2/mですから

Σ_k (E_n - E_l)|<l|x|n>|^2=h^2/(2m)

でThomas....総和則が出てきます。どこからで2倍ずれているような気もしますが、あとは自分で確認してください。ｋを三回や4回微分したら新たな総和則がだせますよね。