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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
奇数の場合は被積分関数が奇関数になりますから、[∞~-∞]の積分範囲なら当然ゼロですね。
気がつかずに質問文のままコピーしてしまいましたが、
奇関数の場合は積分範囲が[∞~0]である時だけ積分する意味がありますので
∫[∞~0] x exp(- a x^2)dx
からスタートです。
ありがとうございます。
1でも2でも偶数乗の場合は解けました。
n=1の[∞~0]の場合。
∫[∞~0]xexp(-x^2/b^2)dx=-(b^2/2)∫[∞~0](exp(-x^2/b^2))'dx=-(b^2/2)[exp(-x^2/b^2)][∞~0]=b^2/2
となるのですが、偶数乗の時は√πがつくのに、奇数乗の場合は√πがつかないのは不思議です。
とりあえず、∞~-∞という定義で問題が出されているので、奇数乗の場合は奇関数で0になるということで問題は解決できたので良かったです。
No.1
- 回答日時:
上の式は0乗と二乗ですが…それはおいといて
調和振動子に限った話ではないですが
1. 指数関数exp(-x^2/b^2)を微分すると
(exp(-x^2/b^2)) ' = -(2/b^2) x exp(-x^2/b^2)
であることを利用し
∫[∞~-∞] x^n exp(-x^2/b^2) dx = ∫[∞~-∞] x^(n-1) x exp(-x^2/b^2) dx
= -(b^2/2)∫[∞~-∞] x^(n-1) (exp(-x^2/b^2))' dx
から部分積分を繰り返すことで求める。
2. a=1/b^2 とすると最初の式は
∫[∞~-∞]exp(- a x^2)dx = (π/a)^(1/2)
この左辺をaで微分すると
(d/da)∫[∞~-∞]exp(- a x^2)dx = -∫[∞~-∞] x^2 exp(- a x^2)dx
となるので、両辺をn回aで微分するとx^2nの場合が求められる。
xの冪が奇数の場合は∫[∞~-∞] x exp(- a x^2)dx からスタートする。
このどちらかで求めます。
公式だけが知りたいなら、公式集などを見ましょう。
この回答への補足
そうですね。
0乗と2乗の間違いですね(汗)
1番の場合なんですけど、n=1の場合
∫[∞~-∞]xexp(-x^2/b^2)dx=-(b^2/2)∫[∞~-∞](exp(-x^2/b^2))'dx=-(b^2/2)[exp(-x^2/b^2)][∞~-∞]=0
になっちゃう気がするんですけど、もし分かったら教えてください。
2番の場合は解けましたけど、∫[∞~-∞]xexp(-x^2/b^2)dxの答えが分からないので、奇数の場合が求まりません(TT)
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