無限次元ベクトル空間Vの基底S,Tが共に無限次元である時、S,Tの濃度が一致することを示してください

無限次元ベクトル空間Vの基底S,Tが共に無限次元である時、S,Tの濃度が一致することを示してください

No.4 ベストアンサー 回答者： elen.1211 回答日時： 2020/10/18 18:55

集合Aの濃度を#Aとかきます。

Latex打ちだと#がそのまま使えないので。。
#I≧#Jというのは全射I→J（単射J→I）が存在するという意味ですね。
回答にある濃度の積は直積集合の濃度です。
以上を踏まえると
\[\sharp J\leq\sum_{i\in I}\sharp J(i)\leq\sharp I\cdot\max\{\sharp J(i)\mid i\in I\}\leq\sharp I\cdot\aleph_0=\sharp I.\]
の意味を追うことは難しくない。

No.3 回答者： elen.1211 回答日時： 2020/10/18 17:35

体上のベクトル空間Vの基底の濃度が一意的であることの証明くらい教科書に書いてあると思うんですが。

。

$S=\{s_i\}_{i\in I}, T=\{t_j\}_{j\in J}$
として $\sharp I\geq \sharp J$ を示せばよい。（逆も同様だから）
$s_i$ を $T$ の元の線形結合で表したときに使用される元の添え字からなる $J$ の有限部分集合を $J(i)$ とすると、
\[J=\bigcup_{i\in I}J(i).\]
濃度の計算に関する知識から
\[\sharp J\leq\sum_{i\in I}\sharp J(i)\leq\sharp I\cdot\max\{\sharp J(i)\mid i\in I\}\leq\sharp I\cdot\aleph_0=\sharp I.\]
（$\aleph_0$ は無限可算濃度のこと）

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。たしかに教科書にあるのですが、読んでもよくわかりませんでした。お力を貸してい頂きありがとうございます。ところで\sharpという記号を調べたら#が出てきたのですが、どういう意味で用いてますか？

お礼日時：2020/10/18 18:29

No.2 回答者： elen.1211 回答日時： 2020/10/18 14:42

それを　S,Tが無限次元　とは言いません

ことばを正しく使いましょう

無限集合の濃度は一種類ではないのですから、S,Tの濃度が異なることはあります

この回答へのお礼

すみません。濃度というのが正しいのでしたね。本題なのですが、ベクトル空間の基底は濃度が一致するというのが求めたい命題なのですが、教えて頂けますか？

お礼日時：2020/10/18 16:49

No.1 回答者： elen.1211 回答日時： 2020/10/18 13:25

S,Tが無限次元、の意味が分かりません

この回答へのお礼

|S|=|T|=∞ということです

お礼日時：2020/10/18 14:20