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前回の質問に関して。容量の値が互いに素である二つの容器を使えば1リットルの水を計り出すことができ、1リットル~二つの容器の合計容量以内の任意の整数ℓの水を計ることができるということですが、これは逆も言えるのでしょうか?つまり、容器の容量は分かっているが、互いに素であるかどうかわからないとき、1ℓの水を計れれば、二つの容器の容量は互いに素であると判定できる、ということでよいのでしょうね?分かり切ったことかもしれませんが、念のため。

A 回答 (5件)

整数a,bが互いに素である


ならば

整数a,bに対して
ax+by=1 となる整数x,yが存在する

逆に
整数a,bに対して
ax+by=1 となる整数x,yが存在する
ならば

整数a,bは互いに素である

例えば
整数
a=3,b=5
に対して

3*2-5=1
だから
x=2
y=-1
とすると
ax+by=3*2-5=1

a=3Lの水をx=2回、b=5Lのバケツに入れれば
a=3Lのバケツの水に
1L
余るから
1Lの水を計れる
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Aℓ と Bℓ の容器を使って Cℓ の水が測れたとすれば、


C が A,B の最大公約数の倍数であることが判ります。
参考→ https://manabitimes.jp/math/674#2
C = 1 の場合は、A,B が互いに素だということになります。
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>1ℓの水を計れれば、二つの容器の容量は互いに素であると判定できる、ということでよいのでしょうね?



( ゚Д゚) そんなわけないぞ。

3ℓ、5ℓ、8ℓなら、
3ℓ容器に水を満タンに入れて、それを8ℓ容器に移す
3ℓ容器に水を満タンに入れて、それを8ℓ容器に移す
3ℓ容器に水を満タンに入れて、それを8ℓ容器にあふれる寸前まで移す
3ℓ容器に1ℓの水が残る。
ということで、
8ℓ容器の扱いはどうなる?
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「1ℓの水を計れる」とは、「二つの容器の容量の最大公約数が1」ということでは?

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2リットルと1リットルの容器。

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